Интегрирование по частям

Интегри́рование по частя́м, один из способов вычисления интеграла, состоящий в представлении интеграла от выражения вида ${\displaystyle u(x)\,dv(x)}$ через интеграл от ${\displaystyle v(x)\,du(x)}$. Для определённого интеграла формула интегрирования по частям имеет вид

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,dv(x)=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}v(x)\,du(x)}$ (1)

и справедлива в предположении, что функции ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$ и их производные ${\displaystyle u^{\prime }(x)}$ и ${\displaystyle v^{\prime }(x)}$ непрерывны на ${\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}$.

Аналогом этой формулы для неопределённого интеграла является соотношение

${\displaystyle \int u(x)\,dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)\,du(x)}$.

Аналогом формулы (1) для кратных интегралов является соотношение

${\displaystyle \int _{D}u{\frac {\partial v}{\partial x_{k}}}\,dx=\oint _{\Gamma }uv\cos \left({\widehat {x_{k},n}}\right)\,ds-\int _{D}v{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}\,dx,}$ (2)

где ${\displaystyle D}$ – область в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ с гладкой (или хотя бы кусочно-гладкой) границей ${\displaystyle \Gamma }$, ${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}\right)}$, ${\displaystyle \left({\widehat {x_{k},n}}\right)}$ – угол между осью ${\displaystyle Ox_{k}}$ и внешней нормалью к поверхности ${\displaystyle \Gamma }$. Формула (2) справедлива, например, для непрерывных в ${\displaystyle D\cup \Gamma }$ функций ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$ и их частных производных 1–го порядка. Если интегралы в формуле (2) понимаются в смысле Лебега, то для справедливости этой формулы достаточно, чтобы ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$ принадлежали пространству Соболева ${\displaystyle u(x)\in W_{p}^{1}(D)}$, ${\displaystyle v(x)\in W_{q}^{1}(D)}$ при любых ${\displaystyle p\geqslant 1}$, ${\displaystyle q\geqslant 1}$ таких, что ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\leqslant 1+{\frac {1}{m}}}$.