Кратный интеграл

Кра́тный интегра́л, интеграл от функции многих переменных ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{m})}$, ${\displaystyle m\geqslant 2}$, взятый по области ${\displaystyle m}$-мерного пространства. При ${\displaystyle m=2}$ кратный интеграл называют двойным интегралом, при ${\displaystyle m=3}$ – тройным.

Характерным примером являются двойные интегралы. Пусть функция ${\displaystyle f(x,y)}$ задана в квадрируемой области ${\displaystyle D}$ на плоскости. Область ${\displaystyle D}$ разбивают на ${\displaystyle n}$ частичных областей ${\displaystyle d_{i}}$, которые имеют площади ${\displaystyle s_{i}}$. В каждой области ${\displaystyle d_{i}}$ произвольным образом выбирается (см. рис.) точка ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ и составляется интегральная сумма

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i})s_{i}}$.

Если при неограниченном уменьшении максимального диаметра областей ${\displaystyle d_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, суммы ${\displaystyle S_{n}}$ имеют предел, не зависящий от выбора областей ${\displaystyle d_{i}}$ и точек ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$, то этот предел называют двойным интегралом от функции ${\displaystyle f(x,y)}$ по области ${\displaystyle D}$ и обозначают

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,ds}$.

Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна и область ${\displaystyle D}$ замкнута, то интеграл заведомо существует. Аналогично определяются тройной интеграл и вообще ${\displaystyle m}$-кратные интегралы.

На кратные интегралы переносятся многие свойства интеграла Римана по отрезку (линейность, аддитивность относительно области интегрирования, возможность интегрирования неравенств и др.). Вместе с тем интегрируемая функция многих переменных может быть и неограниченной на ${\displaystyle D}$.

Для вычисления кратных интегралов их обычно сводят к интегралам от меньшего числа переменных (см. Повторный интеграл). Для приближённого вычисления используют т. н. кубатурные формулы.

Кратные интегралы имеют различные применения, с их помощью выражаются объёмы и массы тел, статические моменты, моменты инерции и т. п.