Гетероскедастичность

Согласно теореме Гаусса – Маркова, оценки коэффициентов ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ линейной эконометрической модели ${\displaystyle Y=X\theta +\varepsilon }$, полученные методом наименьших квадратов (МНК-оценки), являются несмещёнными, состоятельными и эффективными (также такие оценки называют наилучшими линейными несмещёнными), если (^[2]):

• значения объясняющих переменных являются фиксированными;

• объясняющие переменные являются линейно независимыми, т. е. матрица ${\displaystyle X}$ имеет полный столбцовый ранг и ${\displaystyle \mathrm {det} (X^{T}X)>0}$;
• случайные ошибки имеют нулевое математическое ожидание (одинаковую дисперсию) и попарно не коррелированы, т. е. ${\displaystyle \mathrm {Cov} (\varepsilon )=\sigma ^{2}I}$.

Следует отметить, что теорема Гаусса – Маркова не требует нормального распределения ошибок модели. Если хотя бы одно из перечисленных выше условий не выполняется, то полученные МНК-оценки ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ не будут наилучшими линейными оценками. В частности, нарушение постоянства дисперсии приводит к тому, что (^[3]м):

• оценки дисперсий оценок ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ оказываются смещёнными;
• построенные на их базе доверительные интервалы не соответствуют заявленным уровням значимости;
• оценённые значения ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle F}$ статистик нельзя рассматривать как наблюдаемые значения случайных величин с ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle F}$ распределениями, т. е. их использование может привести к ошибочным выводам при проверке статистических гипотез.

Одним из способов выявления гетероскедастичности в данных является построение графика стандартизованных остатков относительно подобранных значений ${\displaystyle {\hat {y}}_{t}=X_{t}{\hat {\theta }}}$:

${\displaystyle c_{i}={\frac {e_{i}}{S}}={\frac {y_{i}-X_{i}{\hat {\theta }}}{\sqrt {\frac {RSS}{n-p}}}}.\qquad (1)}$

В формуле (1) ${\displaystyle RSS}$ – сумма квадратов остатков, ${\displaystyle p}$ – число объясняющих переменных. Построенный график позволяет предположить форму функциональной зависимости дисперсии остатков от величины подобранного значения ${\displaystyle {\hat {y}}_{t}}$.

Признаки наличия условной гетероскедастичности во временных рядах можно выявить напрямую, анализируя график временного ряда. Как отмечает Эндерс (^[4]), существует ряд признаков, позволяющих заподозрить гетероскедастичность во временном ряду. Например, на графиках временного ряда могут быть видны периоды большего или меньшего колебания ряда, частые изменения траектории движения с восходящей на нисходящую и наоборот, тенденции к сонаправленному движению нескольких временных рядов.

Разумеется, визуальный анализ не может быть использован для принятия обоснованного решения о наличии гетероскедастичности. Для более строгих выводов следует применять формальные критерии. Одним из простейших критериев является критерий Уайта (^[5]). В рамках этого критерия тестируемой нулевой гипотезой является отсутствие гетероскедастичности. Для проведения теста необходимо оценить регрессию квадратов остатков эконометрической модели на константу, все объясняющие переменные, их квадраты и попарные произведения. В качестве тестовой статистики используется ${\displaystyle nR^{2}}$, где ${\displaystyle n}$ – число наблюдений, ${\displaystyle R^{2}}$ – коэффициент детерминации оценённой модели. Данная статистика имеет асимптотическое распределение ${\displaystyle \chi ^{2}}$ с ${\displaystyle P}$ степенями свободы, где ${\displaystyle P}$ – число объясняющих переменных в оценённой регрессии без учёта свободного члена.

К числу формальных тестов можно также отнести критерий Глейзера (^[6]), критерии Голдфелда – Квандта и Бройша – Пагана (^[7]).

Условную гетероскедастичность в модели временных рядов можно протестировать при помощи теста Маклеода – Ли (^[8]). Тестируемой нулевой гипотезой также является предположение об отсутствии гетероскедастичности. Для проведения теста в первую очередь нужно получить оценки остатков наиболее подходящей ARMA-модели для временного ряда. Затем необходимо оценить регрессию квадратов этих остатков на константу и необходимое количество их запаздывающих значений. В качестве тестовой статистики используется ${\displaystyle nR^{2}}$, где ${\displaystyle n}$ – число наблюдений, ${\displaystyle R^{2}}$ – коэффициент детерминации оценённой модели. Данная статистика имеет асимптотическое распределение ${\displaystyle \chi ^{2}}$ с ${\displaystyle P}$ степенями свободы, где ${\displaystyle P}$ – число запаздывающих значений в оценённой регрессии без учёта константы. Для малых выборок более предпочтительным будет F-критерий для нулевой гипотезы ${\displaystyle \alpha _{1}=\cdots =\alpha _{P}=0}$. Искомая тестовая статистика будет иметь ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle (n-P)}$ степеней свободы в числителе и знаменателе соответственно.

Для преодоления проблем, связанных с гетероскедастичностью, применяется модифицированный метод наименьших квадратов – взвешенный МНК (^[9]; ^[10]), суть которого можно пояснить на следующем примере. Рассмотрим простейшую модель:

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{t}.\qquad (2)}$

Представим дисперсию ошибок модели как

${\displaystyle D(\varepsilon _{i})=\sigma ^{2}\lambda _{i}^{2}}$,

где ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ одинаковая для всех ${\displaystyle i}$, а ${\displaystyle \lambda _{i}}$ может быть, например, функцией от значений объясняющих переменных.

Если переписать уравнение (2) в виде

${\displaystyle {\frac {y_{i}}{\lambda _{i}}}=\alpha {\frac {1}{\lambda _{i}}}+\beta {\frac {x_{i}}{\lambda _{i}}}+{\frac {\varepsilon _{t}}{\lambda _{i}}}}$,

${\displaystyle y_{i}^{*}=\alpha 1^{*}+\beta x_{i}^{*}+\varepsilon _{t}^{*},\qquad (3)}$

где ${\displaystyle 1^{*}={\frac {1}{\lambda _{i}}}}$, то МНК-оценки коэффициентов уравнения (3) будут давать гомоскедастичные остатки, т. к. дисперсии ошибок ${\displaystyle \varepsilon _{i}^{*}}$ будут одинаковыми и равными ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Для последующего построения доверительных интервалов и тестирования гипотез следует использовать оценки дисперсий, полученных при оценивании модели (3).

В случае наличия авторегрессионной условной гетероскедастичности применяются модели ARCH (Engle. 1982), GARCH (Bollerslev. 1986) и их модификации. Основной идеей этих моделей является представление временного ряда в виде:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t}&={\hat {y}}_{t}+\varepsilon _{t}\\D(\varepsilon _{t})&=h_{t}\\h_{t}&=\alpha _{0}+\sum \limits _{i=1}^{p}\alpha _{i}y_{t-i}^{2}&{\text{(ARCH)}}\\h_{t}&=\alpha _{0}+\sum \limits _{i=1}^{p}\alpha _{i}y_{t-i}^{2}+\sum \limits _{j=1}^{q}\beta _{j}h_{t-j}&{\text{(GARCH)}},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle y_{t}}$ – рассматриваемый временной ряд, ${\displaystyle {\hat {y}}_{t}}$ – подобранное значение по наилучшей ARMA-модели, ${\displaystyle h_{t}}$ – условная дисперсия ошибки в момент времени ${\displaystyle t}$. Данные модели оцениваются методом максимального правдоподобия.