Доверительный интервал

Довери́тельный интерва́л, интервал, построенный по результатам наблюдений над случайной величиной, накрывающий с заданной вероятностью неизвестное значение параметра распределения этой случайной величины. Пусть результаты наблюдений ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ суть независимые случайные величины с распределением вероятностей ${\displaystyle \mathrm {P} _{\theta }}$, зависящим от числового параметра ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \theta \in \Theta }$, где ${\displaystyle \Theta }$ – т. н. параметрическое множество. Тогда при фиксированном ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle 0<\alpha <1}$, интервал с границами ${\displaystyle \mathrm {{\hat {\theta }}_{1}} =\mathrm {{\hat {\theta }}_{1}} }$ ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ и ${\displaystyle \mathrm {{\hat {\theta }}_{1}} =\mathrm {{\hat {\theta }}_{1}} (X_{1},\ldots ,X_{n})}$, ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{1}<{\hat {\theta }}_{2}}$, лежащий в множестве ${\displaystyle \Theta }$ такой, что

${\displaystyle \inf \mathrm {P} _{\theta }\{{\hat {\theta }}_{1}\leqslant \theta \leqslant {\hat {\theta }}_{2}\}=1-\alpha }$,

где нижняя грань берётся по ${\displaystyle \theta \in \Theta }$, называется доверительным интервалом для параметра ${\displaystyle \theta }$ с доверительным уровнем (коэффициент доверия) ${\displaystyle 1-\alpha }$. Границы ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{1}}$ и ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{2}}$ доверительного интервала называются доверительными границами или доверительными пределами.

Пример. Пусть ${\displaystyle {\rm {P_{\theta }}}}$ – нормальное распределение с плотностью вероятности

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma }}}e^{-{\frac {(x-\theta )}{2\sigma ^{2}}}}}$,

где ${\displaystyle -\infty <x<-\infty }$ и ${\displaystyle \sigma }$ – известное положительное число. При построении доверительного интервала для параметра ${\displaystyle \theta }$ рассматриваются статистическая оценка ${\displaystyle {\overline {X}}=(X_{1}+\ldots +X_{n})/n}$ параметра ${\displaystyle \theta }$ и случайная величина ${\displaystyle {\sqrt {n}}({\overline {X}}-\theta )/\sigma }$, которая при любом значении ${\displaystyle \theta }$ имеет функцию распределения

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz}$

стандартного нормального закона. Поэтому для любого ${\displaystyle t>0}$ вероятность

${\displaystyle \mathrm {P_{\theta }} ={\Biggl \{}{\overline {X}}-{\frac {t\sigma }{\sqrt {n}}}\leqslant \theta \leqslant {\overline {X}}+{\frac {t\sigma }{\sqrt {n}}}{\Biggr \}}=\ =\mathrm {P_{\theta }} {\Biggl \{}\left|{\sqrt {n}}{\frac {{\overline {X}}-\theta }{\sigma }}\right|\leqslant t{\Biggl \}}=\Phi (t)-\Phi (-t)}$

не зависит от ${\displaystyle \theta }$. Пусть ${\displaystyle t_{\alpha }}$ – решение уравнения ${\displaystyle 2\Phi (t_{\alpha })-1=1-\alpha }$, где ${\displaystyle 0<\alpha <1}$. Интервал

${\displaystyle \left({\overline {X}}-{\frac {t_{\alpha }\sigma }{\sqrt {n}}},\,{\overline {X}}+{\frac {t_{\alpha }\sigma }{\sqrt {n}}}\right)}$

накрывает неизвестное значение ${\displaystyle \theta }$ с вероятностью ${\displaystyle 1-\alpha }$, т. е. является доверительным интервалом с доверительным уровнем ${\displaystyle 1-\alpha }$. Вероятность ошибки, состоящей в том, что построенный доверительный интервал не накрывает истинное значение ${\displaystyle \theta }$, не превосходит ${\displaystyle \alpha }$.

Понятие доверительного интервала обобщается на случай векторного параметра, при этом используются многомерные доверительные области. Понятие доверительного интервала обобщается и на функциональные характеристики вероятностных распределений. Задача построения наилучших доверительных интервалов родственна задаче получения наилучших критериев в теории проверки статистических гипотез.

Метод оценивания параметров с помощью доверительного интервала предложен американским математиком Е. Нейманом (1935). Понятие доверительного интервала широко используется при статистической обработке результатов наблюдений.