Простое кольцо
Просто́е кольцо́, неодноэлементное кольцо без двусторонних идеалов, отличных от 0 и всего кольца. Ассоциативное простое кольцо с единицей, содержащее минимальный односторонний идеал, изоморфно кольцу матриц над некоторым телом. Без предположения существования единицы такое кольцо оказывается локально матричным над некоторым телом , т. е. каждое его конечное подмножество содержится в подкольце, изоморфном кольцу матриц над (Джекобсон. 1961). Существуют простые кольца без делителей пуля (даже нётеровы), отличные от тел, а также нётеровы простые кольца с делителями нуля, но без идемпотентов (Залесский, Нерославский. 1977). Известны простые кольца, радикальные в смысле Джекобсона (Бокуть. 1977–1981). Однако открыт вопрос о существовании простых нильколец.
Описание строения альтернативных простых колец сводится к ассоциативному случаю. См. также Простая алгебра.
Литература
- Джекобсон Н. Строение колец / пер. с англ. В. А. Андрунакиевича. – Москва : Издательство иностранной литературы, 1961.
- Cozzens J. H. Simple noetherian rings / J. Cozzens, C. Faith. – Cambridge ; New York : Cambridge University Press, 1975. – (Cambridge tracts in mathematics ; 69).
- Zalesskii A. E. There exist simple Noetherian rings with zero divisors but without idempotents / A. E. Zalesskii, O. M. Neroslavskii // Communications in Algebra. – 1977. – Vol. 5, № 3. – P. 231–244.
- Бокуть Л. А. Ассоциативные кольца : (учебное пособие для студентов-математиков НГУ). – Новосибирск : [б. и.], 1977–1981.
- Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории : [в 2 т.] : пер. с англ. – Москва : Мир, 1977–1979.