Аппроксимативный предел

Аппроксимати́вный преде́л, предел функции ${\displaystyle f(x)}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$ по множеству ${\displaystyle E}$, для которого ${\displaystyle x_{0}}$ является точкой плотности. В простейшем случае ${\displaystyle f(x)}$ есть действительная функция точки ${\displaystyle n}$-мерного евклидова пространства (в более общем случае – вектор-функция). Аппроксимативный предел обозначается

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}\mathrm {ap} \,f(x)}$.

Из существования аппроксимативного предела, вообще говоря, не следует существование обычного предела. Для аппроксимативного предела имеют место элементарные свойства пределов: единственность, теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций.

Пусть ${\displaystyle x_{0}}$ – точка плотности области определения действительной функции ${\displaystyle f(x)}$. Если при этом существует обычный предел ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)}$, то существует и равный ему аппроксимативный предел. Верхним аппроксимативным пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется нижняя грань множества чисел ${\displaystyle y}$ (причём ${\displaystyle y=+\infty }$ не исключается), для которых множество ${\displaystyle \left\{x:f(x)>y\right\}}$ имеет ${\displaystyle x_{0}}$ своей точкой разрежения. Аналогично, нижним аппроксимативным пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называется верхняя грань множества тех ${\displaystyle y}$ (${\displaystyle y=-\infty }$ не исключается), для которых ${\displaystyle x_{0}}$ служит точкой разрежения множества ${\displaystyle \left\{x:f(x)<y\right\}}$. Эти аппроксимативные пределы обозначаются соответственно

${\displaystyle \varlimsup _{x\to x_{0}}\mathrm {ap} \,f(x){\text{ и }}\varliminf _{x\to x_{0}}\mathrm {ap} \,f(x)}$.

Аппроксимативный предел существует в том и только том случае, если верхний и нижний аппроксимативные пределы равны; их общее значение совпадает с аппроксимативным пределом.

В случае действительного ${\displaystyle x}$ употребляются также односторонние (правый и левый) верхние и нижние аппроксимативные пределы (при этом требуется, чтобы ${\displaystyle x_{0}}$ была соответственно правосторонней или левосторонней точкой плотности области определения функции). Для правого верхнего аппроксимативного предела употребляют запись

${\displaystyle \mathop {\overline {\mathrm {lim} }} \limits _{\begin{smallmatrix}x\to x_{0}\\x>x_{0}\end{smallmatrix}}\mathrm {ap} \,f(x)}$,

аналогично записываются и другие случаи. При совпадении правых верхнего и нижнего аппроксимативных пределов получается правый аппроксимативный предел, при совпадении левых – левый аппроксимативный предел.

Аппроксимативный предел был использован впервые А. Данжуа (1915) и А. Я. Хинчиным (1916–1918) при исследовании дифференциальных связей неопределённого интеграла (в смысле Лебега и в смысле Данжуа – Хинчина) и подинтегральной функции (см. Аппроксимативная непрерывность, Аппроксимативная производная).