Аппроксимативная непрерывность

Аппроксимати́вная непреры́вность, обобщение понятия непрерывности с заменой обычного предела на аппроксимативный предел. Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется аппроксимативно непрерывной в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}\mathrm {ap} \,f(x)=f(x_{0})}$.

В простейшем случае ${\displaystyle f(x)}$ – действительная функция точки ${\displaystyle n}$-мерного евклидова пространства (в более общем случае – вектор-функция).

Справедливы следующие теоремы:

1. Действительная функция ${\displaystyle f(x)}$ измерима, по Лебегу, на множестве ${\displaystyle E}$ в том и только том случае, если она аппроксимативно непрерывна почти всюду на ${\displaystyle E}$ (теорема Данжуа – Степанова).
2. Для любой ограниченной измеримой, по Лебегу, функции ${\displaystyle f(x)}$ в каждой точке ${\displaystyle x_{0}}$ её аппроксимативной непрерывности
   ${\displaystyle \lim _{\rho \to 0}{\frac {1}{\mu (R)}}\int \limits _{R}f(x)\,d\mu =f(x_{0})}$,

   где ${\displaystyle \mu }$ есть ${\displaystyle n}$-мерная мера Лебега, ${\displaystyle R}$ – содержащий точку ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle n}$-мерный невырожденный сегмент, ${\displaystyle \rho }$ – его диаметр.