Аномалии (в небесной механике)

Анома́лии, величины, определяющие положение небесного тела (планеты, спутника и др.) на эллиптической орбите. Различают аномалию истинную, эксцентрическую, среднюю и сопряжённую (существуют и другие виды аномалий, но они используются гораздо реже):

• истинная аномалия – угол ${\displaystyle \Theta }$ с вершиной в фокусе орбиты F (в котором находится центральное тело) между направлением на перицентр Π (перигей, перигелий и др.) орбиты и радиусом-вектором небесного тела S, проведённым из этого фокуса (см. рис.); отсчитывается в направлении движения тела;
• эксцентрическая аномалия – угол ${\displaystyle E}$ с вершиной в центре орбиты C между направлениями на перицентр Π и на фиктивную точку P. Последняя лежит на пересечении окружности, касающейся эллипса в его вершинах П и A, и перпендикуляра, опущенного из S на линию апсид ПA;
• средняя аномалия – угол ${\displaystyle M}$ с вершиной в центре орбиты C между направлениями на перицентр Π и на некоторую фиктивную точку L (угол M и точка L не показаны на рисунке), которая движется по окружности ΠPA равномерно и проходит через перицентр и апоцентр A одновременно с небесным телом S;
• сопряжённая аномалия ${\displaystyle \ \sim \theta }$ отличается от истинной аномалии тем, что вершина соответствующего угла находится в пустом фокусе F′.

В соответствии со 2-м законом Кеплера истинная и эксцентрическая аномалии изменяются неравномерно: быстрее, когда небесное тело движется вблизи перицентра, и медленнее – вблизи апоцентра. При движении небесного тела S от Π до Α оно опережает фиктивную точку L ${\displaystyle (\Theta >E>M)}$, а затем при движении от Α до Π отстаёт от неё ${\displaystyle (\Theta <E<M)}$. В моменты прохождения тела через точки Π и Α все 3 аномалии совпадают.

Средняя аномалия в момент времени ${\displaystyle t}$ определяется соотношением:

${\displaystyle M={\frac {2\pi }{T}}(t-\tau )}$,

где ${\displaystyle \tau }$ – момент прохождения перицентра, ${\displaystyle T}$ – период обращения.

Эксцентрическая аномалия связана со средней аномалией уравнением Кеплера:

${\displaystyle E-e\cdot \sin {E}=M}$,

где ${\displaystyle e}$ – эксцентриситет орбиты.

Истинная и эксцентрическая аномалии связаны уравнением

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\ \operatorname {tg} {\frac {E}{2}}.}$ (1)

Его можно привести к форме:

${\displaystyle \Theta -E=2\operatorname {arctg} {\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}=2\operatorname {arctg} {\frac {\beta \sin {\Theta }}{1+\beta \cos {\Theta }}},}$ (2)

свободной от сингулярности при ${\displaystyle \Theta =E=\pi }$. Формулы (1) и (2) остаются справедливыми после подстановки ${\displaystyle \theta \rightarrow {\tilde {\theta }},}$ ${\displaystyle E\rightarrow E,}$ ${\displaystyle e\rightarrow -e,}$ ${\displaystyle \beta \rightarrow -\beta }$.

Сопряжённая аномалия замечательна тем, что обращающийся вокруг планеты синхронный спутник обращён к планете практически одной стороной. Для Луны, например, максимальное отклонение составляет 2,25′.

На гиперболических и параболических орбитах определена истинная аномалия, а эксцентрическую и среднюю аномалии следует заменить их аналогами для соответствующих орбит.