Уравнение Кеплера

Уравне́ние Ке́плера, трансцендентное уравнение вида ${\displaystyle y-c\cdot \sin {y}=x}$.

Впервые рассматривалось И. Кеплером в книге «Новая астрономия» (1609) в связи с задачами небесной механики. В астрономии под уравнением Кеплера понимают уравнение, связывающее эксцентрическую аномалию ${\displaystyle E}$ эллиптической орбиты небесного тела с его средней аномалией ${\displaystyle M\!\!:}$

${\displaystyle E-e\cdot \sin {E}=M,}$

где ${\displaystyle e\ -}$ эксцентриситет орбиты. Средняя аномалия является линейной функцией времени ${\displaystyle t\!:}$ ${\displaystyle M=n(t-\tau ),}$ где ${\displaystyle n\ -}$ угловая скорость орбитального движения, называемая в астрономии средним движением, ${\displaystyle \tau \ -}$ момент прохождения тела через перицентр орбиты. Уравнение Кеплера играет важную роль в астрономии при определении элементов эллиптических орбит небесных тел (планет, астероидов, комет, двойных звёзд).

Уравнение Кеплера исследовали многие знаменитые математики и астрономы. Так, Ж.-Л. Лагранж в 1771 г. разложил корень уравнения Кеплера в бесконечный ряд по степеням эксцентриситета ${\displaystyle e}$. П.-С. Лаплас в 1823 г. доказал абсолютную сходимость этого ряда вплоть до значения ${\displaystyle e=0,\!6627\!\dots ,}$ получившего название предела Лапласа. К. Ф. Гаусс в 1809 г. доказал эффективность решения уравнения Кеплера методом последовательных приближений.