Автоморфизм алгебраической системы

Автоморфи́зм алгебраи́ческой систе́мы, изоморфное отображение алгебраической системы на себя. Автоморфизмом ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\langle A,\Omega \rangle }$ называется всякое взаимно однозначное отображение ${\displaystyle \varphi }$ множества ${\displaystyle A}$ на себя, обладающее свойствами

${\displaystyle \varphi \left(F(x_{1},\ldots ,x_{n})\right)=F\left(\varphi \left(x_{1}\right),\ldots ,\varphi \left(x_{n}\right)\right),}$ (1)

${\displaystyle P\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)\Longleftrightarrow P\left(\varphi (x_{1}),\ldots ,\varphi (x_{m})\right)}$ (2)

для всех ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ из ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ и для всех ${\displaystyle F,P}$ из ${\displaystyle \Omega }$. Другими словами, автоморфизм ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ есть изоморфное отображение системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ на себя. Пусть ${\displaystyle G}$ – множество всех автоморфизмов системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Если ${\displaystyle \varphi \in G}$, то обратное отображение ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ также обладает свойствами (1), (2) и поэтому ${\displaystyle \varphi ^{-1}\in G}$. Произведение ${\displaystyle \alpha =\varphi \psi }$ автоморфизмов ${\displaystyle \varphi ,\psi }$ системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, определяемое формулой ${\displaystyle \alpha (x)=\psi (\varphi (x))}$, ${\displaystyle x\in A}$, снова является автоморфизмом системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Поскольку умножение отображений ассоциативно, то ${\displaystyle \langle G,\cdot ,{}^{-1}\rangle }$ есть группа, называемая группой всех автоморфизмов системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ и обозначаемая через ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\boldsymbol {A}})}$. Подгруппы группы ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\boldsymbol {A}})}$ называются просто группами автоморфизмов системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Пусть ${\displaystyle \varphi }$ – автоморфизм системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ и ${\displaystyle \theta }$ – конгруэнция этой системы. Полагая

${\displaystyle (x,y)\in \theta _{\varphi }\Longleftrightarrow \left(\varphi ^{-1}(x),\quad \varphi ^{-1}(y)\right)\in \theta ,\quad x,y\in A}$,

получим снова конгруэнцию ${\displaystyle \theta _{\varphi }}$ системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Aвтоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ называется ${\displaystyle IC}$-автоморфизмом, если ${\displaystyle \theta _{\varphi }=\theta }$ для любой конгруэнции ${\displaystyle \theta }$ системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Множество ${\displaystyle IC({\boldsymbol {A}})}$ всех ${\displaystyle IC}$-автоморфизмов системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ является нормальным делителем группы ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\boldsymbol {A}})}$, и факторгруппа ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\boldsymbol {A}})/{IC}({\boldsymbol {A}})}$ изоморфна некоторой группе автоморфизмов решётки всех конгруэнций системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ (Плоткин. 1966). В частности, всякий внутренний автоморфизм ${\displaystyle x\rightarrow a^{-1}xa}$ группы, определяемый каким-либо фиксированным элементом ${\displaystyle a}$ этой группы, является ${\displaystyle IC}$-автоморфизмом. Однако пример циклической группы простого порядка показывает, что не всякий ${\displaystyle IC}$-автоморфизм группы – внутренний.

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ – нетривиальное многообразие ${\displaystyle \Sigma }$-систем или какой-либо другой класс ${\displaystyle \Omega }$-систем, обладающий свободными системами любого (ненулевого) ранга. Автоморфизм ${\displaystyle \varphi }$-системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ из класса ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ называется ${\displaystyle I}$-автоморфизмом, если существует терм ${\displaystyle f_{\varphi }\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$ от неизвестных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, для которого: 1) в системе ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ существуют такие элементы ${\displaystyle a_{2},\ldots ,a_{n}}$, что для каждого элемента ${\displaystyle x\in A}$ имеет место равенство

${\displaystyle \varphi (x)=f_{\varphi }\left(x,a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}$,

2) для любой системы ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ из класса ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ отображение

${\displaystyle x->f_{\varphi }\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\quad (x\in B)}$

является автоморфизмом этой системы при любом выборе элементов ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n}}$ в системе ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$. Множество ${\displaystyle I({\boldsymbol {A}})}$ всех ${\displaystyle I}$-автоморфизмов каждой системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ из класса ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ является нормальным делителем группы ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\boldsymbol {A}})}$. В классе ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ всех групп понятие ${\displaystyle I}$-автоморфизма совпадает с понятием внутреннего автоморфизма группы (Csákány. 1965). (Более общее понятие формульного автоморфизма ${\displaystyle \Omega }$-системы см. в Grant. 1973.)

Пусть ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ – алгебраическая система. Заменяя каждую основную операцию ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ предикатом

${\displaystyle R\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y\right)\Longleftrightarrow F\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=y}$
${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},y\in A)}$,

получим т. н. модель ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$, представляющую систему ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Справедливо равенство ${\displaystyle \operatorname {Aut} \left({\boldsymbol {A}}^{*}\right)=\operatorname {Aut} ({\boldsymbol {A}})}$. Если системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\langle {\boldsymbol {A}},\Omega \rangle }$, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\prime }=\left\langle {\boldsymbol {A}},\Omega ^{\prime }\right\rangle }$ имеют общий носитель ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \Omega \subset \Omega ^{\prime }}$, то ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\boldsymbol {A}})\supseteq \operatorname {Aut} ({\boldsymbol {A}})^{\prime }}$. Если ${\displaystyle \Omega }$-система ${\displaystyle A}$ c конечным числом порождающих финитно аппроксимируема, то группа ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\boldsymbol {A}})}$ также финитно аппроксимируема (Плоткин. 1966, с. 432). Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ – класс ${\displaystyle \Sigma }$-систем и пусть ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})}$ – класс всех изоморфных копий групп ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\boldsymbol {A}})}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in {\mathfrak {K}}}$, a ${\displaystyle S\operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})}$ – класс подгрупп групп из класса ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})}$. Класс ${\displaystyle S\operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})}$ состоит из групп, изоморфно вложимых в группы ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\boldsymbol {A}})}$, ${\displaystyle A\in {\mathfrak {K}}}$.

В исследовании групп автоморфизмов алгебраических систем выделились следующие 2 проблемы.

1) Пусть дан класс ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ ${\displaystyle \Omega }$-систем. Что можно сказать о классах ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})}$ и ${\displaystyle S\operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})}$?

2) Пусть дан (абстрактный) класс ${\displaystyle K}$ групп. Существует ли класс ${\displaystyle \Omega }$-систем ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ данной сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$ такой, что ${\displaystyle K=\operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})}$ или хотя бы ${\displaystyle K=S\operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})}$? Доказано, что для любого аксиоматизируемого класса ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ моделей класс групп ${\displaystyle S\operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})}$ универсально аксиоматизируем (Плоткин. 1966). Доказано также (Плоткин. 1966.^[1] Rabin. 1965^[2]), что если ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ – аксиоматизируемый класс моделей, имеющий бесконечные модели, ${\displaystyle \langle {B},\leqslant \rangle }$ – линейно упорядоченное множество и ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$ – группа автоморфизмов модели ${\displaystyle \langle B,\leqslant \rangle }$, то существует модель ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in {\mathfrak {K}}}$ такая, что ${\displaystyle A\supseteq B}$ и для каждого элемента ${\displaystyle g\in G}$ существует автоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ системы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ такой, что ${\displaystyle g(x)=\varphi (x)}$ для всех ${\displaystyle x\in B}$. Группа ${\displaystyle G}$ называется: 1) универсальной, если ${\displaystyle G\in S\operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})}$ для любого аксиоматизируемого класса ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ моделей, обладающего бесконечными моделями; 2) группой порядковых автоморфизмов упорядочиваемой группы ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$ (см. Линейно упорядоченная группа), если ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$ изоморфна некоторой группе автоморфизмов группы ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$, сохраняющих фиксированный линейный порядок ${\displaystyle \leqslant }$ этой группы [т. е. ${\displaystyle a\leqslant b\Rightarrow \varphi (a)\leqslant \varphi (b)}$ для всех ${\displaystyle a,b\in H}$, ${\displaystyle \varphi \in G}$]. Пусть ${\displaystyle l}$ – класс линейно упорядоченных множеств ${\displaystyle \langle M,\leqslant \rangle }$, ${\displaystyle U}$ – класс универсальных групп, ${\displaystyle RO}$ – класс правоупорядочиваемых групп, ${\displaystyle OA}$ – класс групп порядковых автоморфизмов свободных абелевых групп. Тогда (cм. Rabin. 1965, Cohn. 1957^[3], Смирнов. 1966):

${\displaystyle S\operatorname {Aut} (l)={\mathfrak {U}}=RU=OA}$.

Каждая группа изоморфна группе всех автоморфизмов некоторой ${\displaystyle \Omega }$-алгебры. Если ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ – класс всех колец, то ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})}$ – класс всех групп (см. Плоткин. 1966.^[4] C. 117, 118). Ho если ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ – класс всех групп, то ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})\neq {\mathfrak {K}}}$; например, циклические группы ${\displaystyle C_{3},C_{5},C_{7}}$ порядков 3, 5, 7, соответственно, не принадлежат классу ${\displaystyle \operatorname {Aut} ({\mathfrak {K}})}$. Не существует также топологической группы, для которой группа всех топологических автоморфизмов была бы изоморфна группе ${\displaystyle C_{5}}$ (cм. Wille. 1967^[5]).