Теория конгруэнций

Тео́рия конгруэ́нций, раздел алгебры, в котором изучаются конгруэнции на универсальных алгебрах. Конгруэнцией на универсальной алгебре ${\displaystyle A}$ называется отношение эквивалентности ${\displaystyle \pi }$ на множестве элементов алгебры, перестановочное с любой из её операций. Это означает, что для любой операции ${\displaystyle \omega }$ с ${\displaystyle n}$ переменными, заданной в ${\displaystyle A}$, если

${\displaystyle a_{i}\pi b_{i},a_{i},b_{i}\in A,\quad i=1,\ldots ,n,}$

то и

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n}\omega )\pi (b_{1},\ldots ,b_{n}\omega )}$.

Конгруэнция ${\displaystyle \pi }$ задаёт на множестве классов элементов, эквивалентных по отношению эквивалентности ${\displaystyle \pi }$, структуру универсальной алгебры. Эта алгебра обозначается ${\displaystyle A/\pi }$ и называется факторалгеброй алгебры ${\displaystyle A}$ по конгруэнции ${\displaystyle \pi }$. С конгруэнцией ${\displaystyle \pi }$ связано отображение ${\displaystyle {{\ce {\phi \! : A -> A/ \pi}}}}$, ${\displaystyle \phi (A)=A/\pi }$, ставящее в соответствие каждому элементу ${\displaystyle a\in A}$ тот класс факторалгебры ${\displaystyle A/\pi }$, которому принадлежит элемент ${\displaystyle a}$. Обратно: всякий гомоморфизм ${\displaystyle {{\ce {\phi \! : A -> B}}}}$ однозначно определяет конгруэнцию, классами эквивалентности которой служат прообразы элементов множества ${\displaystyle B}$.