Высота́ в диофа́нтовой геоме́трии, некоторая численная функция на множестве решений диофантова уравнения. В простейшем случае целочисленного решения $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ диофантова уравнения высота есть функция решения, равная $\operatorname{max} \left|x_i\right|$. В таком виде она встречается уже в методе спуска Ферма. Пусть имеется проективное алгебраическое многообразие $X$, определённое над глобальным полем $K$. Высота представляет собой класс действительнозначных функций $h_L(P)$, определённых на множестве $X(K)$ рациональных точек $P$, и зависящий от морфизма $L: X \rightarrow P^n$ многообразия $X$ в проективное пространство $P^n$. Каждая функция из этого класса тоже называется высотой. Различие между функциями из этого класса с точки зрения оценки рациональных точек несущественно; для любых двух функций $h_L^{\prime}$ и $h_L^{\prime \prime}$ существуют такие константы $c^{\prime}>0$ и $c^{\prime \prime}>0$, что $c^{\prime} h_L^{\prime} \leqslant h_L^{\prime \prime} \leqslant c^{\prime \prime} h_L^{\prime}$. Такие функции называются эквивалентными; эта эквивалентность (здесь) обозначается $\asymp$.

Основные свойства высоты. Функция $h_L(P)$ функториальна по $P$, т. е. для любого морфизма $f: X \rightarrow Y$ и морфизма $L: Y \rightarrow P^n$$$h_{f * L}(P) \asymp h_L(f(P)),\quad P \in X(K).$$Если морфизмы $L$, $L_1$ и $L_2$ определяются обратимыми пучками $\mathscr{L}$, $\mathscr{L}_1$ и $\mathscr{L}_2$ и $\mathscr{L}=\mathscr{L}_1 \otimes \mathscr{L}_2$, то $h_L \asymp h_{L_1} h_{L_2}$. Множество точек $P \in X(K)$, имеющих ограниченную высоту, конечно в следующем смысле: если основное поле $K$ есть поле алгебраических чисел, то указанное множество конечно; если же $K$ – поле алгебраических функций с полем констант $k$, то элементы $X(K)$ зависят от конечного числа параметров из поля $k$ и, в частности, $K$ конечно, если поле $k$ конечно. Пусть $|\cdot|_V$ пробегает множество всех нормирований поля $K$. Тогда высота точки $\left(x_0: x_1: \ldots: x_n\right)$ проективного пространства $P^n$ с координатами из $K$ может быть определена как$$\tag{*} \Pi_v \sup _i\left|x_i\right|_v.$$Корректность определения следует из формулы произведения $\Pi_v|x|_v=1$, $x \in K$. Пусть $X$ – произвольное проективное многообразие над $K$ и $L$ – замкнутое вложение многообразия $X$ в проективное пространство; высоту $h_{L}$ можно получить, перенося функцию (*) с помощью этого вложения на множество $X(K)$. Различные проективные вложения, соответствующие одному и тому же пучку $\mathscr{L}$, определяют на $X(K)$ эквивалентные функции. Распространение по линейности даёт требуемую функцию $h_L$. Иногда вместо функции $h_L$ используют её логарифм – т. н. логарифмическую высоту.

Приведённые выше оценки являются в некоторых случаях следствием точных равенств (см. Манин. 1971; Манин. 1964; Мumfогd. 1965). Существует вариант функции высоты – высота Нерона – Тейта, которая определяется на абелевых многообразиях и ведёт себя функториальным образом относительно морфизмов абелевых многообразий, сохраняющих нулевую точку. Локальный аспект развит в (Néron. 1963). Построенные там локальные компоненты высоты играют в арифметике роль индексов пересечения.