Усло́вная вероя́тность, (1) события относительно события, характеристика связи двух событий. Если $A$ и $B$ – события и $P(B)>0$, то условная вероятность $P(A \mid B)$ события $A$ относительно (или при условии ) $B$ определяется равенством$$P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$Условная вероятность $P(A \mid B)$ может рассматриваться как вероятность осуществления события $A$ при условии, что событие $B$ осуществилось. Для независимых событий $A$ и $B$ условная вероятность $P(A \mid B)$ совпадает с безусловной вероятностью $P(A)$.

Связь условных и безусловных вероятностей событий описывается формулой Бейеса и формулой полной вероятности.

(2) Условная вероятность события $A$ относительно $\sigma$-алгебры $\mathfrak{B}$, случайная величина $P(A \mid \mathfrak{B})$, измеримая относительно $\mathfrak{B}$, для которой$$\int_{B} P(A \mid \mathfrak{B}) P(d\omega)=P(A \cap B)$$при любом $B \in \mathfrak{B}$. Условная вероятность относительно $\sigma$-алгебры определяется с точностью до эквивалентности.

Если $\sigma$-алгебра $\mathfrak{B}$ порождена счётным числом непересекающихся событий $B_{1}, B_{2}, \ldots,$ имеющих положительные вероятности и в сумме составляющих всё пространство $\Omega$, то$$P(A \mid \mathfrak{B})=P\left(A \mid B_{k}\right)\quad\text{при}\quad \omega \in B_{k}, \quad k=1,2, \ldots$$Условная вероятность события $A$ относительно $\sigma$-алгебры $\mathfrak{B}$ может быть определена как условное математическое ожидание $\mathrm{E}\left(I_{A} \mid \mathfrak{B}\right)$ индикатора $A$.

Пусть $(\Omega, \mathcal{A}, \mathrm{P})$ – вероятностное пространство, $\mathfrak{B}$ – под-$\sigma$-алгебра $\mathcal{A}$. Условная вероятность $P(A \mid \mathfrak{R})$ называется регулярной, если существует функция $p(\omega, A)$, $\omega \in \Omega$, $A \in \mathcal{A}$, такая, что

a) при фиксированном $\omega$ функция $p(\omega, A)$ является вероятностью на $\sigma$-алгебре $\mathcal{A}$,

б) $P(A \mid \mathfrak{B})=p(\omega, A)$ с вероятностью единица.

Для регулярных условных вероятностей условные математические ожидания выражаются интегралами с условными вероятностями в качестве мер. Условная вероятность относительно случайной величины $X$ определяется как условная вероятность относительно $\sigma$-алгебры, порождённой $X$.