Вариа́ция, термин, введённый в математику Ж.-Л. Лагранжем (Lagrange. 1867) для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала. Метод вариации – метод исследования экстремальной задачи, основанный на малых смещениях аргумента и изучении того, как в зависимости от них изменяются функционалы. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум (отсюда и название Вариационное исчисление).

Пусть $X$ – некоторое пространство, на котором задан функционал $f(x)$, а $V$ – пространство некоторых параметров. Под вариацией аргумента $x_0 \in X$ понимают обычно кривую $x(t, v)$, $\alpha \leqslant t \leqslant \beta$, $\alpha \leqslant 0$, $\beta \geqslant 0$, $v \in V$, в пространстве $X$, проходящую через $x_0$ в определённой близости от ограничений, причём $x_0$ соответствует значение $t=0$. Когда $v$ пробегает множество всех параметров, вариации пробегают определённое семейство кривых, исходящих из точки $x_0$. В конечномерном и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы Лагранжа, обычно применяют вариации по направлениям, когда $V=X$ и $x(t, v)=x_0+t v$. В этом случае вариацией называется вектор $v$. Однако в геометрии, в вариационном исчислении и в особенности в теории оптимального управления применяют и другие классы вариаций, например ломаные вариации, игольчатые вариации, вариации, связанные со скользящими режимами (Блисс. 1950; Понтрягин. 1983). Выбор пространства вариаций и построение самих вариаций – важнейший элемент при получении необходимых условий экстремума. См. также в статьях Вариация функционала, Производная Гато, Производная Фреше, Функциональная производная.