Усло́вная сходи́мость ря́да, свойство ряда, заключающееся в том, что существует сходящийся ряд, полученный из данного некоторой перестановкой его членов. Числовой ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n \tag{*}$$безусловно сходится, если он сходится, и сходится любой ряд, полученный перестановкой его членов, причём сумма любого такого ряда одна и та же, иначе говоря, сумма безусловно сходящегося ряда не зависит от порядка его членов. Если ряд (*) сходится, но не безусловно, то он называется условно сходящимся. Для того чтобы ряд (*) условно сходился, необходимо и достаточно, чтобы он сходился, но не абсолютно, т. е. чтобы $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|=+\infty$.

Если члены ряда (*) являются действительными числами, через $u_1^{+}, u_2^{+}, \ldots, u_n^{+}, \ldots$ обозначены его неотрицательные члены, а через $-u_1^{-},-u_2^{-}, -u_n^{-}, \ldots$ – отрицательные, то ряд (*) будет условно сходиться тогда и только тогда, когда оба ряда $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^{+}$ и $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^{-}$ расходятся (при этом порядок слагаемых в этих рядах безразличен).

Пусть ряд (*) с действительными членами сходится условно и $-\infty \leqslant \alpha<\beta \leqslant+\infty$, тогда существует такой ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^*$, полученный перестановкой членов ряда (*), что если обозначить через $\left\{s_n^*\right\}$ последовательность его частичных сумм, то

$$\underline{\lim} _{n \rightarrow \infty} s_n^*=\alpha, \quad \overline{\lim} _{n \rightarrow \infty} s_n^*=\beta$$(это есть обобщение теоремы Римана).

Произведение условно сходящихся рядов зависит от порядка, в котором суммируются результаты почленного умножения членов данных рядов.

Понятие условной и безусловной сходимости ряда обобщается на ряды, члены которых являются элементами некоторого нормированного векторного пространства $X$. Если $X$ – конечномерное пространство, то аналогично случаю числовых рядов сходящийся ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$, $u_n \in X$, $n=1,2, \ldots$, условно сходится тогда и только тогда, когда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\left\|u_n\right\|_{X}$ расходится. Если же пространство $X$ бесконечномерное, то в нём существуют безусловно сходящиеся ряды $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$, не являющиеся абсолютно сходящимися, т. е. такие, что для них $\sum_{n=1}^{\infty}\left\|u_n\right\|_{X} =+\infty$.