Уравне́ние Урысо́на, нелинейное интегральное уравнение вида
$$\varphi(x)=\lambda\int_{\Omega}K[x,s,\varphi(s)]\,ds +f(x), \quad x\in\Omega, \tag{*}$$где $\Omega$ – ограниченное замкнутое множество конечномерного евклидова пространства, $K[x,s,t]$, $f(x)$ – заданные функции при $x,s\in\Omega$, $-\infty<t<\infty$. Пусть функция $K[x,s,t]$ непрерывна по совокупности переменных $x,s\in\Omega$, $|t|\leqslant\rho$ ($\rho$ – некоторое положительное число), и пусть
$$\left|\frac{\partial K[x,s,t]}{\partial t}\right| \leqslant M=\operatorname{const},\quad x,s\in\Omega, \quad |t|\leqslant\rho.$$Тогда, если

$$|\lambda| M \operatorname{mes} \Omega<1,\quad |\lambda|\max_{x\in\Omega}\int_{\Omega} \max_{|t|\leqslant\rho}|K[x,s,t]|\,ds\leqslant\rho,$$то уравнение
$$\varphi(x)=\lambda\int_{\Omega}K[x,s,\varphi(s)]\,ds$$имеет единственное непрерывное решение $\varphi(x)$, $x\in\Omega$, удовлетворяющее неравенству $|\varphi(x)|\leqslant\rho$. Если $\varphi_{0}$ – произвольная непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству $|\varphi_{0}(x)|\leqslant\rho$ ($x\in\Omega$), то последовательные приближения
$$\varphi_{n}(x)=\lambda\int_\Omega K[x,s,\varphi_{n-1}(s)]\,ds,\quad n=1,2,\dots$$равномерно на $\Omega$ сходятся к $\varphi(x)$.

Пусть оператор Урысона
$$A\varphi(x)=\int_{\Omega}K[x,s,\varphi(s)]\,ds$$действует в пространстве $L_{p}(\Omega)$, $p>1$, для всех $t_{1},t_{2}$ и $x,s\in\Omega$ выполняется неравенство

$$|K(x,s,t_{1})-K(x,s,t_{2})|\leqslant K_{1}(x,s)|t_{1}-t_{2}|,$$где $K_{1}$ – измеримая функция, причём

$$\Delta^{p}=\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega} K_{1}^{\frac{p}{p-1}}(x,s)\,ds\right)^{p-1}\,dx<\infty.$$Тогда при $|\lambda|<\Delta^{-1}$ и $f\in L_{p}(\Omega)$ уравнение (*) имеет в $L_{p}(\Omega)$ единственное решение.

Уравнение (*) при определённых предположениях впервые было изучено П. С. Урысоном (см. Нелинейное интегральное уравнение).