Уравне́ние Рэле́я, нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

$$\ddot x + F(\dot x) + x=0, \quad \dot x=dx/dt, \tag{*}$$где функция $F(u)$ удовлетворяет предположению:

$$uF(u)<0\, \text{ при малых }\, | u |,$$$$uF(u)>0\,\text{ при больших }\, | u |.$$Уравнение Рэлея описывает типичную нелинейную систему с одной степенью свободы, в которой возможны автоколебания. Названо по имени Рэлея, изучавшего уравнение такого типа в связи с задачами акустики (Рэлей. 1955).

Если уравнение (*) продифференцировать, а затем положить $y=\dot x$, то получится уравнение Льенара

$$\ddot y + f(y)\dot y+y=0; \quad f(u)=F^\prime(u).$$Частным случаем уравнения Рэлея при

$$F(u) = - \lambda \left (u-\frac{u^3}{3} \right ), \quad \lambda = \text{const},$$является уравнение Ван дер Поля. Иногда уравнением Рэлея называется частный случай уравнения (*):

$$\ddot x-(a-b\dot x^2)\dot x+x=0, \quad a>0, \quad b>0.$$Имеется большое число работ, в которых выясняются условия существования и единственности устойчивого предельного цикла у уравнения Рэлея, т. е. условия возникновения автоколебаний. Вопрос о периодических решениях изучался и для различных обобщений уравнения Рэлея, например для

$$\ddot x + F(x, \dot x)\dot x+g(x)=e(t),$$где $e(t)$ – периодическая функция.

Системой типа Рэлея часто называется уравнение

$$\ddot x+F(\dot x)+G(x)=H(t, x, \dot x),$$$$x\in \mathbb{R}^n, \, F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, \, G\cdot\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,$$причём обычно предполагается, что

$$F = \text{grad } f, \quad f:\mathbb{R}^n \to\mathbb{R}, \, f\in C^1,$$$$G = \text{grad } g, \quad g:\mathbb{R}^n \to\mathbb{R}, \, g\in C^2,$$a $H$ – ограниченная и периодическая по $t$ вектор-функция. Представляет интерес получение достаточных условий существования периодических решений таких систем.