Уравне́ние Накадзи́мы – Цва́нцига, интегро-дифференциальное линейное уравнение, описывающее динамику спроектированной матрицы плотности, если полная динамика описывается уравнением Лиувилля – фон Неймана или линейным дифференциальным уравнением более общего вида. Иногда так называют классический аналог данного уравнения для распределения вероятностей в фазовом пространстве, усреднённого по части степеней свободы.

Формулировка

Пусть матрица плотности $\rho(t)$ удовлетворяет обыкновенному линейному дифференциальному уравнению $$\frac{d}{dt} \rho(t) = \mathcal{L}(t)\rho(t),$$где $\mathcal{L}(t)$ – линейное отображение, зависящее от времени $t.$ Пусть $\mathcal{P}$ – проектор, т. е. линейное отображение такое, что $\mathcal{P}^2 = \mathcal{P}$ (см. Проекционные методы). Тогда спроектированная матрица плотности $\mathcal{P} \rho(t)$ удовлетворяет интегро-дифференциальному линейному уравнению, которое называется уравнением Накадзимы – Цванцига (Бройер. 2010). Оно имеет вид $$\frac{d}{dt} \mathcal{P} \rho(t) = \int_{t_0}^{t} \mathcal{K}_s^t \mathcal{P}\rho(s) ds + \mathcal{I}_t \mathcal{Q}\rho(t_0),$$где $\mathcal{K}_s^t,$ $\mathcal{I}_t,$ $\mathcal{Q}$ – линейные отображения, которые могут быть определены на основе исходного уравнения по формулам $$\mathcal{K}_s^t = \mathcal{P} \mathcal{L}(t) \mathcal{G}_s^t \mathcal{Q} \mathcal{L}(s) \mathcal{P}, \quad \mathcal{I}_t = \mathcal{P} \mathcal{L}(t) \mathcal{G}_{t_0}^t, \quad \mathcal{Q} = I - \mathcal{P},$$где $\mathcal{G}_s^t$ – решение задачи Коши $$\frac{d}{dt} \mathcal{G}_s^t = \mathcal{Q} \mathcal{L}(t) \mathcal{G}_s^t, \quad \mathcal{G}_s^s = I,$$$I$ – тождественное отображение.

Часто рассматривается частный случай $\mathcal{P} \rho(t_0) = \rho(t_0).$ В таком случае говорят, что начальное состояние $\rho(t_0)$ согласовано с проектором $\mathcal{P}.$ Тогда $\mathcal{I}_t = 0$ и уравнение Накадзимы – Цванцига является однородным.

Применение

Как правило, само по себе уравнение Накадзимы – Цванцига не содержит значительных упрощений по сравнению с исходным линейным дифференциальным уравнением, и оно редко используется непосредственно. Поэтому применяются те или иные приближённые методы, в первую очередь методы теории возмущений. Они позволяют вычислить коэффициенты разложения $\mathcal{K}_s^t$ по малому параметру в терминах кумулянтов Вальденфельса (Hegerfeldt. 1988). Уравнение также служит для вывода обыкновенных линейных дифференциальных уравнений для $\mathcal{P} \rho(t),$ часто называемых линейными кинетическими уравнениями. В частности, они возникают в результате перехода к пределу Боголюбова – ван Хова, в котором $\mathcal{K}_s^t$ стремится к дельта-функции. Кроме того, к линейным дифференциальным уравнениям в произвольных порядках теории возмущений приводит метод устранения временной свёртки (Fuliński. 1967; Shibata. 1977).

История открытия

Уравнение Накадзимы – Цванцига в случае постоянного $\mathcal{L}(t)$ в терминах преобразований Лапласа от $\mathcal{P} \rho(t)$ было предложено Накадзимой Садао в работе (Nakajima. 1958) и непосредственно в виде интегро-дифференциального уравнения Р. Цванцигом в работе ( Zwanzig. 1960). В качестве проектора главным образом использовался оператор проецирования на диагональную часть матрицы плотности (Nakajima. 1958; Zwanzig. 1960; Zwanzig. 1964)$$\mathcal{P} \rho = \sum_n \langle n|\rho |n \rangle |n \rangle \langle n|,$$где $|n \rangle$ – некоторый базис, в качестве которого чаще всего выбирается собственный базис. В частности, данный проектор на основе теории возмущений позволяет вывести кинетическое уравнение Паули. В работе (Zwanzig. 1960) Цванциг также ввёл классический аналог данного уравнения, использовав в качестве проектора оператор усреднения по части переменных в фазовом пространстве.

В последующих работах (Argyres. 1964; Haake. 1973) данные уравнения были распространены на случай зависящих от времени операторов $\mathcal{L}(t)$ и других проекторов (Kühne. 1978), использующихся в различных областях неравновесной статистической физики. Например, в теории открытых квантовых систем наибольшее распространение получил проектор Арджирса – Келли (Argyres. 1964), действие которого на произвольную матрицу плотности системы и резервуара $\rho_{SB}$ определяется как $$\mathcal{P}\rho_{SB}\equiv\mathrm{Tr}_B\rho_{SB}\otimes\rho_{B}(0),$$где $\rho_{B}(0)$ – начальная матрица плотности резервуара. Уравнение Накадзимы – Цванцига с данным проектором используется для вывода уравнений, описывающих динамику редуцированной матрицы плотности открытой квантовой системы (Бройер. 2010).