Тест Ди́ки – Фу́ллера, эконометрический метод, который позволяет тестировать временны́е ряды на стационарность, т. к. во многих экономико-математических моделях предполагается использование стационарных временны́х рядов. Также этот тест является одним из инструментов проверки наличия единичного корня во временны́х рядах.

Описание теста

Процесс построения теста Дики – Фуллера начинается с рассмотрения простейшего процесса авторегрессии первого порядка [AR(1)] в виде:

$y_t=θy_{t-1}+ε_t$, (1)

где $y_t$ – значение временно́го ряда в момент $t$, $\theta$ – коэффициент, $\varepsilon_t$ – случайная ошибка.

Временной ряд является стационарным, а значит, не содержит единичный корень и описывается авторегрессионым процессом первого порядка, когда $|θ|<1$; при $θ=1$ временной ряд нестационарен, содержит единичный корень и описывается процессом случайного блуждания.

Затем из левой и правой части уравнения (1) вычитается значение временно́го ряда в прошлый момент времени и проводится переобозначение слагаемых:

$y_t-y_{t-1}=θy_{t-1}-y_{t-1}+ε_t$,

$∆y_t=(θ-1)y_{t-1}+ε_t$,

где $∆$ – оператор разности. Переобозначив $b=θ-1$, получаем:

$∆y_t=by_{t-1}+ε_t.$ (2)

Уравнение (2) оценивается с помощью метода наименьших квадратов, после чего проверяется статистическая значимость оценки коэффициента $b$. Нулевая гипотеза о незначимости коэффициента $H_0:b=0 \text{ } (θ=1)$ соответствует ситуации нестационарного временно́го ряда. Она проверяется против альтернативной гипотезы, предполагающей, что коэффициент $b$ значим и отрицателен $H_1:b<0 \text{ }(|θ|<1)$, которая соответствует ситуации стационарного временно́го ряда.

Расчётная статистика имеет распределение Дики – Фуллера:

$\hat{τ} = \frac{\hat{b}}{se(\hat{b})} \sim DF_{I}$.

Полученное расчётное значение $\hat{τ}$ сравнивается с критическим значением из таблицы Дики – Фуллера. Если расчётное значение отрицательное и меньше критического, то нулевая гипотеза отклоняется и делается вывод о стационарности временно́го ряда.

Помимо рассмотренной, существуют ещё две версии теста Дики – Фуллера:

• Тест Дики – Фуллера с константой:

  $∆y_t=\alpha +by_{t-1}+ε_t.$

• Тест Дики – Фуллера с константой и трендом:

  $∆y_t=\alpha + \gamma t+by_{t-1}+ε_t.$

  Для каждой из версий теста рассчитываются свои критические значения $D F$-статистики, которые берутся из специальной таблицы.

Расширенный тест Дики – Фуллера

Расширенный тест Дики – Фуллера используется для более общего случая авторегрессионного процесса порядка p. В этом случае уравнение (1) приобретает вид:

$y_t=θ_1 y_{t-1}+θ_2 y_{t-2}+⋯+θ_p y_{t-p}+ε_t$,

а МНК-оценка применяется к следующей модели:

$∆y_t=by_{t-1}+с_1 ∆y_{t-1}+с_2 ∆y_{t-2}+⋯с_p ∆y_{t-p}+ε_t$.

Нулевая и альтернативные гипотезы формулируются точно так же, как и в обычном тесте Дики – Фуллера. Расчётная статистика имеет такое же распределение Дики – Фуллера, как и в случае обычного теста Дики – Фуллера:

$\hat{τ} = \frac{\hat{b}}{se(\hat{b})} \sim DF_{I}$.

Решение о стационарности принимается на основе тех же рассуждений относительно отвержения либо неотвержения нулевой гипотезы.