Тест Арелья́но – Бо́нда (англ. Arellano – Bond test), статистический тест, предложенный в 1991 г. испанским экономистом М. Арельяно (род. 1957) и его британским коллегой, С. Бондом (род. 1963) и используемый для проверки предположения о некоррелированности ошибок в динамических моделях, в первую очередь в модели регрессии с индивидуальными эффектами для панельных данных.

Простейшая динамическая модель панельных данных имеет вид:

(1) $y_{it}=\gamma y_{i,t-1}+\alpha_i + u_{it}, \text{ } i=1,\dots,N, \text{ }t=1, \dots, T,$

где $y_{it}$ – значение зависимой переменной для i-го объекта в момент времени t, $| γ|<1$ – коэффициент, $\alpha_i$ – индивидуальный эффект, $u_{it}$ – случайная ошибка, удовлетворяющая следующим свойствам: $E(u_{it})=0, \text{ } Var(u_{it})=\sigma^2_u, \text{ }𝐶𝑜𝑣(𝑢_{𝑖𝑡},𝑢_{𝑖𝑠})=0$ для $𝑡≠𝑠,$ $𝐶𝑜𝑣(𝑢_{𝑖𝑡},𝑦_{𝑖,𝑡−𝑘})=0$ для $𝑘>0$. Поскольку «внутри»-оценка (англ. within estimator) коэффициента $γ$ (получаемая при оценивании уравнения в отклонениях от средних внутри групп объектов) оказывается при малых значениях $T$несостоятельной, то для устранения из модели (1) индивидуальных эффектов переходят к модели в разностях. Однако при этом возникает коррелированность регрессора с ошибкой в правых частях получаемых уравнений: $Δy_{i,t}=γΔy_{i,t-1}+Δu_{it}$, так как $Cov(Δy_{i,t-1},Δu_{it})=-Cov(y_{i,t-1},u_{i,t-1} )≠0$, что опять ведёт к несостоятельности оценки коэффициента $γ$ с помощью метода наименьших квадратов. По этой причине вместо обычного метода наименьших квадратов применяют обобщённый метод моментов, в рамках которого необходимо использовать инструменты для регрессоров. При построении инструментов предполагается, что ошибки исходного уравнения (1) $u_{it}$ – некоррелированные случайные величины, в связи с этим возникает необходимость убедиться в корректности этого предположения (провести тест Арельяно – Бонда).

Тест Арельяно – Бонда основан на следующем факте. Если ошибки не коррелированы между собой, то:

• соседние разности $Δu_{it},\text{ }Δu_{i,t-1}$ коррелированы, поскольку $Cov(Δu_{it},Δu_{i,t-1} )=Cov(u_{it}-u_{i,t-1},u_{i,t-1}-u_{i,t-2} )=-σ_u^2$;

• при этом отстоящие на большее количество периодов времени разности $Δu_{it},$ $Δu_{i,t-s},\text{ } s=2,3,…$, напротив, не являются коррелированными.

В рамках теста проверяется нулевая гипотеза $H_0 ∶ \text{ }⁡ Cov(Δu_{it},Δu_{i,t-2} )=0.$ Расчётная статистика теста предусматривает возможность наличия в правой части уравнения (1) не только лага объясняемой переменной, но и строго экзогенных переменных. Расчётная статистика теста Арельяно – Бонда определена при $T≥5$ и имеет асимптотически нормальное распределение при $N→∞.$

Следует также отметить, что $Cov(Δu_{it},Δu_{i,t-2} )$ равна нулю и в ситуации, когда $u_{it}$ – случайное блуждание. Но тогда и $Cov(Δu_{it},Δu_{i,t-1} )=0,$ так что для исключения этого случая в рамках теста Арельяно – Бонда следует проверить ещё и нулевую гипотезу $H_0 ∶⁡ \text{ } Cov(Δu_{it},Δu_{i,t-1} )=0.$