Моде́ль регре́ссии с временны́ми и индивидуа́льными фикси́рованными эффе́ктами (англ. two-way fixed-effects model), модель регрессии на панельных данных вида:

$y_{it} = \mu + \alpha _{i} + \lambda _{t} + \beta x _{it}+ \mathcal{u} _{it} , \ i = 1,...,N, \ t = 1,...,T, \ \sum_{i=1}^N \alpha _{i}=0, \ \sum_{t=1}^T \lambda _{t}=0,$

где где $y_{it}$ – значение зависимой переменной для i-го объекта в момент времени t; $\mu$ – константа; $\alpha _{i}$ – индивидуальный эффект; $\lambda_t$ – временной эффект; $x_{it}$ - значение независимой переменной для i-го объекта в момент времени t; $u_{it}$ – случайная ошибка.

В рассматриваемой модели индивидуальные эффекты $\alpha _{i}$ и временные эффекты $\lambda _{t}$ являются неизвестными постоянными параметрами, которые требуют оценивания.

Введение в модель индивидуальных эффектов компенсирует отсутствие в ней дополнительной объясняющей переменной, изменяющейся от объекта к объекту, которая либо просто неизвестна исследователю, либо не может быть измерена по каким-то причинам. Аналогично введение в модель временных эффектов компенсирует отсутствие в ней дополнительной объясняющей переменной, изменяющейся во времени, которая также либо неизвестна исследователю, либо не может быть измерена по каким-то причинам. Если указанные эффекты не включать в правые части уравнений, то обычно это приводит к смещению оценок коэффициентов, известному как «смещение вследствие пропуска существенной объясняющей переменной».

Получить оценки параметров двунаправленной модели с фиксированными эффектами можно методом наименьших квадратов (англ. Least-Squares Dummy Variable, LSDV-оценка), оценивая линейную регрессию $y_{it}$ на константу, $x_{it}$, $(N – 1)$ бинарных (дамми) переменных $D_i^{(2)},..., D_i^{(N)}$ (переменная $D_i^{(j)}$ равна единице, если наблюдение относится к $j$-му объекту, и равна нулю в противном случае) и $(T – 1)$ бинарных (дамми) переменных $DT_t^{(2)} ,..., DT_t^{(T)}$ (переменная $D_t^{(s)}$ равна единице, если наблюдение относится к моменту $s$, и равна нулю в противном случае). При этом приходится оценивать $1 + (N – 1) + (T – 1)$ параметров – количество, которое обычно бывает достаточно большим из-за значительного количества объектов панельного исследования. Однако представляющую первоочередной интерес оценку коэффициента $\beta$ можно получить и другим способом, не требующим оценивания большого количества параметров.

Обозначив $\bar{y} _{t} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N y _{it}$ (средние по объектам), $\bar{y} _{i} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T y_{it}$ (средние по времени), $\bar{y} = \frac{1}{NT} \sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^T y_{it}$ (среднее по всем наблюдениям), получим:

$( y_{it} - \bar{y} _{i} - \bar{y} _{t} + \bar{y}) = ( x_{it} - \bar{x} _{i} - \bar{x} _{t} + \bar{x}) \beta + ( u_{it} - \bar{u} _{i} - \bar{u} _{t} + \bar{u}).$

В этих обозначениях оценка наименьших квадратов для коэффициента $\beta$ (двунаправленная оценка с фиксированными эффектами – two-way fixed-effect estimator, TWFE-оценка) принимает вид:

$\hat{ \beta } _{TWFE} = \frac{ \sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^T (y _{it} - \bar{y} _{i} - \bar{y} _{t} + \bar{y}) (x _{it} - \bar{x} _{i} - \bar{x} _{t} + \bar{x})}{\sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^T (x _{it} - \bar{x} _{i} - \bar{x} _{t} + \bar{x})^{2} } .$

Она численно совпадает с LSDV-оценкой, получаемой при оценивании модели с дамми-переменными. Используя соотношения

$( \bar{y} _{i}- \bar{y} ) = \alpha _{i} + ( \bar{x} _{i}- \bar{x} ) \beta +( \bar{u} _{i}- \bar{u} ), ( \bar{y} _{t}- \bar{y} ) = \lambda _{t} + ( \bar{x} _{t}- \bar{x} ) \beta +( \bar{u} _{t}- \bar{u} ),$

можно получить и оценки для $\alpha _{i}$ и $\lambda _{t}$:

$\hat{a} _{i} = ( \bar{y} _{i} - \bar{y} ) - \hat{ \beta } _{TWFE} (\bar{x} _{i} - \bar{x}), \hat{ \lambda } _{t} = ( \bar{y} _{t} - \bar{y} ) - \hat{ \beta } _{TWFE} (\bar{x} _{t} - \bar{x}).$

Рассмотренная модель имеет одну, отличную от константы, объясняющую переменную $x _{it}$ Обобщение на случай нескольких таких переменных проводится аналогично.