Теоремы склеивания
Теоре́мы скле́ивания, теоремы, которые устанавливают существование аналитических функций, подчинённых определённым соотношениям на границе области.
Теорема склеивания Лаврентьева (Lavrentieff. 1935): какова бы ни была аналитическая функция , определённая на сегменте , , , можно построить две аналитические функции и , , , отображающие однолистно и конформно прямоугольник и прямоугольник , соответственно на области и без общих точек так, что . Эта теорема склеивания была использована (Белинский. 1974) для доказательства теоремы о существовании функции , , , осуществляющей квазиконформное отображение круга на круг и обладающей почти всюду заданной характеристикой , где – измеримая функция, определённая почти для всех . Теорема склеивания, являющаяся видоизменением теоремы склеивания Лаврентьева, была также использована при решении вопроса о конформном отображении односвязной римановой поверхности на однолистный круг (Голузин. 1966).
Были получены и другие теоремы склеивания (Волковыский. 1946), сыгравшие важную роль в теории римановых поверхностей [при этом брались более слабые ограничения на функцию типа ]. Имеет место следующая теорема склеивания (Schaeffer. 1947; Голузин. 1966): пусть на окружности дана дуга с концами и , и на задана функция , обладающая свойствами: 1) она регулярна во всех внутренних точках дуги и в них ; 2) функция устанавливает взаимно однозначное отображение дуги на дополнительную дугу на с сохранением концов и ; тогда существует функция
регулярная в , за исключением точек и , и во внутренних точках дуги удовлетворяющая соотношению .
Доказано также существование функции , однолистной в (Schaeffer. 1947, гл. 2).