Теорема Плеснера
Теоре́ма Пле́снера, один из основных результатов в теории граничных свойств аналитических функций. Пусть – мероморфная функция в единичном круге , – открытый угол с вершиной на окружности , образованный двумя хордами круга , проходящими через . Точка называется точкой Плеснера (или обладает свойством Плеснера), если в любом сколь угодно малом угле для любого значения из расширенной комплексной плоскости существует последовательность такая, чтоТочка называется точкой Фату для , если существует один-единственный пределкогда стремится к внутри любого угла . Теорема Плеснера: почти все точки окружности по мере Лебега на являются либо точками Фату, либо точками Плеснера. Доказана А. И. Плеснером (Плеснер. 1967).
Известно также, что множество всех точек Плеснера имеет тип на . Построены примеры аналитических функций в , для которых множество плотно на и имеет любую наперёд заданную меру Лебега , (Ловатер. 1973). Теорема Плеснера верна для мероморфных функций в любой односвязной области со спрямляемой границей . В этом случае есть точка Фату, если существует пределпри стремлении по любому некасательному пути; определение точки Плеснера нужно изменить так, чтобы рассматривались углы с вершиной и сторонами, образующими углы, меньшие , с нормалью к в точке (Привалов. 1950).
Аналогом теоремы Плеснера в терминах категории множеств является теорема Мейера.