Степенна́я фу́нкция, функция $y=x^a$, где $a$ – постоянное число.

При $x > 0$ степенная функция определена и положительна для любого действительного $a$. При $x ⩽ 0$ степенная функция $x^a$ определена в следующих случаях:

при $x=0$ степенная функция $x^a$ определена и равна нулю, если $a > 0$, и не определена, если $a < 0$;

степенная функция $x^0≡1$ при $x≠0$ ($0^0$определённого смысла не имеет);

если$n$ – натуральное число, то степенная функция $x^n$ определена при всех $x$, а степенная функция $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$ определена при $x≠0$;

степенная функция $x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$, где $n$ – нечётное натуральное число, определена и отрицательна при $x < 0$.

Производная степенной функции

$$(x^a)'=ax^{a–1},$$неопределённые интегралы

$$\int x^a dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$$при $a≠–1$,

$$\int\frac{1}{x}dx=\ln |x| + C.$$Для комплексных $z$ и $a$ степенная функция $z^a$ определяется формулой

$$z^a=e^{a(\ln ∣z∣+i \text{arg}\,z+2πki)},$$где $i$ – мнимая единица, $\text{arg}\,z$ – главное значение аргумента комплексного числа $z$, $–π < \text{arg}\,z ⩽ π$, $k=0,±1,±2,...$. Степенная функция $z^a$ однозначна только при целых значениях $a$. Если $a=m/n$ – несократимая дробь, то степенная функция $z^a$ является $n$-значной. В остальных случаях степенная функция $z^a$ бесконечнозначна. Если$a$ – действительное число, то все значения степенной функции $z^a$ находятся по формуле

$$z^a=∣z∣^ae^{ia(\text{arg}\,z+2πk)},\, \ \ \ \ k=0,±1,±2,... .$$