Сопряжённый мо́дуль (двойственный модуль, дуальный модуль), модуль гомоморфизмов модуля в основное кольцо. Точнее: пусть $M$ – левый модуль над кольцом $R$. Абелеву группу $\mathrm{Hom}_R (M, R)$ гомоморфизмов модуля $M$ в левый $R$-модуль $R$ можно превратить в правый $R$-модуль $M^*$, полагая

$$x(\varphi\lambda)=(x\varphi)\lambda, \, x\in M, \, \varphi\in \mathrm{Hom}_R (M, R), \, \lambda\in R.$$Этот правый модуль $M^*$ называется сопряжённым модулем модуля $M$. Если $x\in M$, то можно определить элемент $\bar{x}\in M^{**}$, положив $\bar{x}(\varphi)=x\varphi$ для всех $\varphi\in M^*$. Этим определяется гомоморфизм модуля $M$ в $M^{**}$. Гомоморфизмом является и отображение $\zeta : M^*\bigotimes_R C\to \mathrm{Hom}_R (M, C)$ ($C$ – левый $R$-модуль), определяемое равенством

$$x((\varphi\otimes c)\zeta)=(x\varphi)c,\,x\in M,\,\varphi\in M^*,\,c\in C.$$Оба эти гомоморфизма являются изоморфизмами, если $M$ – конечно порождённый проективный модуль (Маклейн. 1966). Из свойств функтора $\mathrm{Hom}$ вытекает изоморфизм $(\sum M_\alpha)^*\cong\prod M_\alpha^*$ ($\sum$ – прямая сумма, $\prod$ – прямое произведение) и существование гомоморфизма $M^{***}$ в $M*$. Сквозное отображение $M^*\to M^{***}\to M^*$ является тождественным. Однако $M^{***}$ не обязательно изоморфен $M^*$. Важными являются и модули без кручения в смысле Басса, т. е. модули, для которых указанный выше гомоморфизм $M$ в $M^{**}$ оказывается мономорфизмом. Это свойство равносильно вложимости модуля $M$ в прямое произведение некоторого множества экземпляров основного кольца. Если кольцо $R$ нётерово справа и слева, то отображение $M\to M^*$ осуществляет двойственность между категориями всех левых и всех правых конечно порождённых $R$-модулей тогда и только тогда, когда кольцо $R$ квазифробениусово.