Смещённая оце́нка, статистическая оценка, математическое ожидание которой не совпадает с оцениваемой величиной.

Пусть $X$ – случайная величина, принимающая значения в выборочном пространстве $\left(\mathfrak{X}, \mathscr{B}, \mathsf{P}_\theta\right)$, $\theta \in \Theta$, и пусть $T=T(X)$ – точечная статистическая оценка функции $f(\theta)$, заданной на параметрическом множестве $\Theta$. Предполагается, что математическое ожидание $\mathsf{E}_\theta\{T\}$ оценки $T$ существует. Если в этих условиях функция$$b(\theta)=\mathsf{E}_\theta\{T\}-f(\theta)=\mathsf{E}_\theta\{T-f(\theta)\}$$не равна тождественно нулю, т. е. если $b(\theta) \not \equiv 0$, то $T$ называется смещённой оценкой функции $f(\theta)$, а сама функция $b(\theta)$ называется смещением или систематической ошибкой оценки $T$.

Пример. Пусть $X_1, \ldots, X_n$ – взаимно независимые одинаково нормально $N_1\left(a, \sigma^2\right)$ распределённые случайные величины и пусть$$\bar{X}=\frac{1}{n}\left(X_1+\ldots+X_n\right).$$В таком случае статистика$$S_n^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$$является смещённой оценкой дисперсии $\sigma^2$, т. к.$$\mathsf{E}\left\{S_n^2\right\}=\frac{n-1}{n} \sigma^2=\sigma^2-\frac{\sigma^2}{n},$$т. е. оценка $S_n^2$ имеет смещение $b\left(\sigma^2\right)=-\sigma^2 / n$, при этом квадратичный риск этой смещённой оценки равен$$\mathsf{E}\left\{\left(S_n^2-\sigma^2\right)^2\right\}=\frac{2 n-1}{n^2} \sigma^4.$$Наилучшей несмещённой оценкой параметра $\sigma^2$ является статистика$$s_n^2=\frac{n}{n-1} S_n^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2,$$квадратичный риск которой равен$$\mathsf{D}\left\{s_n^2\right\}=\mathsf{E}\left\{\left(s_n^2-\sigma^2\right)\right\}=\frac{2}{n-1} \sigma^4.$$В данном случае при $n>2$ квадратичный риск смещённой оценки $S_n^2$ меньше квадратичного риска наилучшей несмещённой оценки $s_n^2$.

Существуют ситуации, когда несмещённые оценки не существуют. Так, например, не существует несмещённой оценки для абсолютной величины $|a|$ математического ожидания $a$ нормального закона $N_1\left(a, \sigma^2\right)$, т. е. для $|a|$ можно построить только смещённую оценку.