Сле́довая $l_p$-но́рма ква́нтового кана́ла, положительное число, приписываемое квантовому каналу, для любого фиксированного $0<p\le +\infty,$ по аналогии с определением норм в пространствах последовательностей комплексных чисел в функциональном анализе. Привлечение аппарата $l_p$-норм для изучения информационных свойств квантовых каналов было впервые предложено в работе (Амосов. 2000).

Математическое определение

Пусть $\Phi :\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A) \to \mathfrak{S}(\mathcal{H}_B)$ – квантовый канал, действующий из системы $A$ в систему $B.$ Тогда для $0<p<+\infty$ и $p=+\infty$ определены числа $$||\Phi ||_p=[\sup \limits _{\rho \in \mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)}\mathrm{Tr}(\Phi (\rho ))^p]^{1/p},\quad ||\Phi ||_{\infty }=\sup \limits _{\rho \in\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A)}||\Phi (\rho )||.$$Если $p\ge 1,$ числа $||\Phi ||_p$ удовлетворяют неравенству треугольника и являются нормами на выпуклом множестве квантовых каналов.

Свойства

В работе (Амосов. 2000) была высказана гипотеза о том, что $l_p$-нормы квантовых каналов мультипликативны относительно операции взятия тензорного произведения каналов: $$||\Phi \otimes \Psi ||_p=||\Phi ||_p||\Psi ||_p$$для двух квантовых каналов $\Phi$ и $\Psi.$ Кроме того, там же было показано, что выполнение свойства мультипликативности норм при $p\to +0$ в виде $||\Phi ^{\otimes n}||_p=||\Phi ||_p^n$ влечёт выполнение свойства аддитивности минимальной выходной энтропии для квантового канала $\Phi.$ В дальнейшем было показано, что свойство мультипликативности не выполняется для произвольного канала (Werner. 2002).

Применение

Следовые $l_p$-нормы были использованы в работах (King. 2002; King. 2003) для доказательства свойства аддитивности выходной энтропии канала и нахождения классической пропускной способности кубитных каналов и квантового деполяризирующего канала.