Минима́льная выходна́я энтропи́я, положительное число, приписываемое квантовому каналу, получающееся минимизацией энтропии фон Неймана выходных состояний канала по всем входным состояниям.

Математическое определение

Пусть $\Phi :\mathfrak{S}(\mathcal{H}_A) \to \mathfrak{S}(\mathcal{H}_B)$ – квантовый канал, действующий из системы $A$ в систему $B.$ Тогда величина $$S_{min}(\Phi )=\inf \limits _{\rho \in \mathfrak {S}(\mathcal {H}_A)}S(\Phi (\rho )),$$где $S(\rho )=-\mathrm{Tr}(\rho \log\rho)$ – энтропия фон Неймана состояния $\rho \in \mathfrak {S}(\mathcal {H}),$ называется минимальной выходной энтропией квантового канала $\Phi.$

Свойства

В работе (Амосов. 2000) была высказана гипотеза о том, что минимальная выходная энтропия аддитивна относительно операции взятия тензорного произведения: $$S_{min}(\Phi \otimes \Psi)=S_{min}(\Phi )+S_{min}(\Psi)$$для двух квантовых каналов $\Phi$ и $\Psi.$ В случае если свойство аддитивности выполнено так, что $S_{min}(\Phi ^{\otimes n})=n\,S_{min}(\Phi)$ и квантовый канал $\Phi$ обладает полным ансамблем состояний, минимизирующих энтропию, формула для классической пропускной способности принимает вид (Холево. 2010): $$C(\Phi)=S\left (\Phi \left (\frac {1}{d}\,{\rm I}\right )\right )-S_{min}(\Phi ),$$где $d$ – размерность входного гильбертова пространства ${\mathcal H}_A.$

В дальнейшем было показано, что свойство аддитивности не выполняется для произвольного канала (Hastings. 2009).

История открытия

Исследование выходной энтропии квантовых каналов было начато благодаря доказательству квантовой теоремы кодирования (Holevo. 1998; Schumacher. 1997), поскольку формула для вычисления классической пропускной способности канала сильно упрощается при наличии такого свойства.

Применение

Доказательство аддитивности выходной энтропии привело к вычислению классической пропускной способности квантовых каналов для некоторых важных случаев (King. 2002; King. 2003; Amosov. 2022).

См. также Квантовая теория информации.