Класси́ческая пропускна́я спосо́бность ква́нтового кана́ла, предельная достижимая скорость передачи информации при параллельном использовании $n$ копий квантового канала, когда $n\to \infty.$

Математическое определение

Из квантовой теоремы кодирования следует, что число $N$ квантовых состояний $\rho_k\in \mathfrak {S}(\mathcal {H}_A^{\otimes n}),$ которыми можно кодировать классические сообщения при передаче через $n$ копий квантового канала $\Phi$ таким образом, чтобы их можно было декодировать с асимптотически убывающей ошибкой, оценивается как $$N\sim e^{nC},\quad n\to +\infty ,$$где положительная константа $C=C(\Phi )$ называется классической пропускной способностью квантового канала $\Phi$ (Холево. 2010).

Свойства

Классическая пропускная способность вычисляется по формуле $$C(\Phi )=\lim \limits _{n\to +\infty }\frac {C_1(\Phi ^{\otimes n})}{n},$$где $C_1(\Psi)$ называется однобуквенной пропускной способностью квантового канала и определяется выражением

$$C_1(\Psi )=\sup \limits _{\{\pi _k,\rho _k\}}\big[S\big(\sum \limits _k\Phi (\rho _k)\big)-\sum \limits _k\pi _kS(\Phi (\rho _k))\big],$$где супремум берётся по всевозможным ансамблям $\{\pi _k,\rho _k\},$ состоящим из квантовых состояний $\rho _k\in \mathfrak {S}(\mathcal {H}_A)$, и распределениям вероятностей $\{\pi _k\}$ на них. Здесь $S(\rho)=\mathrm{Tr}\rho\log\rho$ – энтропия фон Неймана квантового состояния $\rho.$

При взятии супремума в формуле для пропускной способности следует различать случаи $\mathcal {H}_A<+\infty$ и $\mathcal {H}_A=+\infty.$ Для конечномерных пространств он берётся по всем ансамблям состояний. В бесконечномерном случае на состояния $\rho$ накладывается энергетическое ограничение вида $\mathrm{Tr}\rho\, H\le E,$ где $H$ – гамильтониан системы и $E$ – положительное число (энергия).

История открытия

Определение классической пропускной способности в конечномерном случае появляется в квантовой теореме кодирования (Holevo. 1998; Schumacher. 1997). В то же время необходимость вычисления значения $C_1(\Phi ^{\otimes n})$, отличного, вообще говоря, от $nC_1(\Phi)$, является следствием свойств функции $$\chi (\{\pi _k,\rho _k\})=S(\rho )-\sum \limits _k\pi _kS(\rho _k),$$определённой на ансамбле $\sum \limits _k\pi _k\rho _k=\rho$ и называемой границей Холево (Холево. 1973).

Применение

Вычисление классической пропускной способности является важнейшей задачей квантовой теории информации. На практике оно необходимо, например, для теоретических расчётов, связанных с кодированием и декодированием при передаче информации по бозонным квантовым каналам, для которых классическая пропускная способность была найдена (Giovannetti. 2015).