Ра́зностная схе́ма, система разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальное уравнение и дополнительные (начальные, граничные и другие) условия. Аппроксимация исходной дифференциальной задачи разностной схемы – это один из способов приближённой дискретизации исходной задачи. Он заключается в том, что заданную область изменения независимых переменных $G$ заменяют дискретным множеством точек $G_h$ – сеткой, а производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяют на сетке $G_h$ разностными отношениями. В результате такой замены возникает замкнутая система большого числа алгебраических уравнений (линейных или нелинейных в зависимости от исходной дифференциальной задачи), которая и представляет собой разностную схему. По существу разностная схема – это семейство разностных уравнений, зависящих от шагов сетки. Решение разностной схемы также зависит параметрически от шагов сетки. Разностная схема – многопараметрический и сложный объект. Помимо коэффициентов исходного дифференциального уравнения, она содержит свои собственные параметры, такие как шаги по времени и пространству, весовые множители и др. Влияние этих параметров может существенно исказить представление о поведении исходной дифференциальной задачи.

В связи с разностной аппроксимацией дифференциальных задач изучаются следующие вопросы: о способах построения разностных схем, о сходимости при измельчении сетки решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи, о методах решения систем разностных уравнений. Все перечисленные вопросы рассматривает теория разностных схем. Разработаны эффективные численные методы решения типичных разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, предполагающие использование быстродействующих ЭВМ.

Ниже приводится простой пример разностных схем. Пусть имеется дифференциальная задача$$\tag{1}\left.\begin{array}{c} u^{\prime \prime}(x)-q(x) u(x)=-f(x), \quad q(x) \geqslant 0,\quad 0<x<1, \\ u^{\prime}(0)=\sigma u(0)-\mu_1, \quad u(1)=\mu_2, \quad \sigma>0 . \end{array}\right\}$$Область $G\{0<x<1\}$ заменяется сеткой$$G_h=\left\{x_i=i h, i=0,1, \ldots, N, h N=1\right\}.$$Разностная схема для задачи (1) имеет вид$$\tag{2}\left.\begin{array}{c} \frac{y_{i+1}-2 y_i+y_{i-1}}{h^2}-q_i y_i=-f_i,\quad i=1,2, \ldots, N-1, \\ \frac{y_1-y_0}{h}=\left(\sigma+0,5 h q_0\right) y_0-\left(\mu_1+0,5 h f_0\right),\quad y_N=\mu_2, \end{array}\right\}$$где $y_i=y\left(x_t\right)$, $q_i=q\left(x_i\right)$, $x_i \in G_h$. Можно показать, что при $h \rightarrow 0$ решение разностной задачи (2) сходится к решению исходной задачи (1) и при достаточной гладкости функции $q(x)$, $f(x)$.

Разностная схема (2) имеет 2-й порядок точности, т. е.$$\max _{0 \leqslant i \leqslant N}\left|y_i-u\left(x_i\right)\right| \leqslant M h^2,$$где $M$ – постоянная, не зависящая от $h$. Решение разностной схемы (2) находится методом прогонки.