Пробле́ма Люро́та, проблема характеризации подполей поля рациональных функций.

В 1875 г. Я. Люрот (Lüroth. 1875; Ван дер Варден. 1976) доказал, что всякое подполе поля рациональных функций от одной переменной $k(x)$, содержащее поле $k$ и отличное от $k$, изоморфно полю $k(x)$ (теорема Люрота). Вопрос о том, верно ли аналогичное утверждение для подполей $R$ поля $k(x_1,\dots, x_n)$, $R\supset k$, $R\ne k$, $n\ge 2$, известен как проблема Люрота.

Пусть $X$ – алгебраическое многообразие, являющееся моделью (см. в статье Минимальная модель) поля $R$, тогда вложение $R=k(X)\subset k(x_1,\dots, x_n)$ определяет рациональное отображение $f:P^n\to X$, образ которого плотен в $X$. Многообразия, для которых существует такое отображение на них проективного пространства, называются унирациональными. Рациональными называются многообразия, бирационально изоморфные $P^m$. На геометрическом языке проблема Люрота может быть сформулирована следующим образом: является ли всякое унирациональное многообразие $X$ рациональным? Без ограничения общности можно предполагать, что ${\rm dim}\ X = n$, т. е. что $R$ имеет степень трансцендентности, равную $n$.

В случае $n = 1$ положительное решение проблемы Люрота для любого основного поля $k$ даёт сформулированная выше теорема Люрота. Для $n = 2$ и алгебраически замкнутого поля $k$ характеристики $0$ проблема положительно решена Г. Кастельнуово в 1893 г. Из критерия рациональности Г. Кастельнуово следует также положительное решение проблемы Люрота для таких поверхностей $X$ над алгебраически замкнутым полем произвольной характеристики, для которых существует сепарабельное отображение $f: P^2 \to X$ (Zariski. 1958). Для несепарабельных отображений $f$ существуют примеры, дающие отрицательное решение проблемы Люрота для полей простой характеристики. В случае алгебраически незамкнутого поля $k$ такими примерами являются минимальные кубические поверхности в $P^3$, обладающие $k$-точками.

Для трёхмерных многообразий проблема Люрота также решается отрицательно (см. Исковских. 1971, Клеменс. 1972, Клеменс. 1973, Artin. 1972). Доказана (Клеменс.1972, Клеменс. 1973) нерациональность трёхмерной кубической гиперповерхности, которая, как известно, унирациональна. Для доказательства был найден новый метод, основанный на сравнении промежуточного якобиана кубики с якобианами кривых. Доказана (Исковских. 1971) нерациональность гладких трёхмерных квартик. Для конструкции контрпримеров использована (Artin. 1972) в качестве инварианта группа Брауэра многообразия (группа кручений в трёхмерных когомологиях). Этот бирациональный инвариант использован также для построения контрпримеров во всех размерностях $n\ge 3$.