При́нцип сжима́ющих отображе́ний, принцип сжатых отображений, теорема, утверждающая существование и единственность неподвижной точки у отображения $f$ полного метрического пространства $(X, \rho)$ (или замкнутого подмножества такого пространства) в себя, если для любых $x^{\prime}, x^{\prime \prime}$ выполняется неравенство

$$\rho\left(f\left(x^{\prime}\right), f\left(x^{\prime \prime}\right)\right) \leqslant q \rho\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right), \tag{1}$$где $0<q<1$. Этот принцип широко используется для доказательства существования и единственности решения не только уравнения вида $f(x)=x$, но и уравнений $f(x)=y$ путём замены такого уравнения на эквивалентное: $\tilde{f}(x)=x,$ где $\tilde{f}(x)=x \pm(f(x)-y)$.

Схема применения принципа сжимающих отображений обычно такова: исходя из свойств отображения $f$ находят сначала замкнутое множество $M \subset X$, обычно замкнутый шар, такое, что $f(M) \subset M$, а затем доказывают, что на этом множестве $f$ является отображением сжатия. После этого, отправляясь от произвольного элемента $x_0 \in M$, строят последовательность $\left\{s_n\right\}$, $x_n=f\left(x_{n-1}\right)$, $n=1, 2, \ldots$, принадлежащую $M$, которая сходится к некоторому элементу $x \in M$. Это и будет единственное решение уравнения $f(x)=x$, а $x_n$ будут последовательными приближениями решения.

В общем случае условие $(1)$ нельзя заменить условием

$$\rho\left(f\left(x^{\prime}\right), f\left(x^{\prime \prime}\right)\right)<\rho\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right), \tag{2}$$однако если это условие выполняется на компактном множестве $K$, которое $f$ отображает в себя, то условие $(2)$ обеспечивает у $f$ существование единственной неподвижной точки $\tilde{x} \in K$.

Имеет место следующее обобщение принципа сжимающих отображений. Пусть снова $f$ отображает полное метрическое пространство $X$ в себя и

$$\rho\left(f\left(x^{\prime}\right), f\left(x^{\prime \prime}\right)\right) \leqslant q(\alpha, \beta) \rho\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)$$при $\alpha \leqslant \rho\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right) \leqslant \beta$, где $0<q(\alpha, \beta)<1$ для $0<\alpha \leqslant \beta<\infty$. Тогда отображение $f$ имеет на $X$ единственную неподвижную точку.