Преобразова́ние Сти́лтьеса, интегральное преобразование вида

$$F(x)=\int_{0}^{\infty} \frac{f(x)}{x+t}\,dt.\tag{*}$$Преобразование Стилтьеса возникает при итерировании преобразования Лапласа и является частным случаем преобразования свёртки.

Одна из формул обращения: если функция $f(t)\sqrt{t}$ непрерывна и ограничена на $(0,\infty)$, то $$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n}}{2 \pi}\left(\frac{e}{n}\right)^{2 n}\left[x^{2 n} F^{(n)}(x)\right]^{(n)}=f(x)$$на $x\in(0,\infty)$.

Обобщённое преобразование Стилтьеса имеет вид

$$F(x)=\int_{0}^{\infty}f(t)\frac{dt}{(x+t)^{\rho}},$$где $\rho$ – комплексное число.

Интегрированное преобразование Стилтьеса имеет вид

$$F(x)=\int_{+0}^{\infty} K(x,t)f(t)\,dt,$$где
$$K(x, t)= \begin{cases}\frac{\ln \frac{x}{t}}{x-t}, & t \neq x \\ 1 / x, & t=x.\end{cases}$$Преобразования Стилтьеса введены и для обобщённых функций. Преобразование (*) рассмотрено Т. Стилтьесом (Т. Stieltjes, 1894–1895).