Преобразова́ние Яко́би, интегральное преобразование вида

$$J\{F(x)\}=f^{(\alpha, \beta)}(n)=\int_{-1}^{1} P_{n}^{(\alpha, \beta)}(x) F(x)\,d x, \quad n=0,1,2, \ldots,$$где $P_{n}^{(\alpha, \beta)}(x)$ – многочлен Якоби степени $n$; $\alpha>-1$, $\beta>-1$ – действительные числа. Формула обращения имеет вид

$$F(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \delta_{n}^{-1}(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta} P_{n}^{(\alpha, \beta)}(x) f^{(\alpha, \beta)}(n), \quad -1<x<1,$$

$$\delta_{n}= \frac{2^{\alpha+\beta+1} \Gamma(\alpha+n+1) \Gamma(\beta+n+1)}{n!(\alpha+\beta+2n+1) \Gamma(\alpha+\beta+n+1)},$$если ряд сходится.

Преобразование Якоби сводит операцию

$$T[F(x)]=\frac{d}{d x}\left\{(1-x^2) \frac{dF}{dx} +[(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)x] \frac{d F}{dx}\right\}$$к алгебраической по формуле

$$\begin{aligned} J\{T[F(x)]\}&=-(n+1)(n+\alpha+\beta) f^{(\alpha, \beta)}(n)+ \\&\quad+\left.\left\{[(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta) x] P_{n}^{(\alpha, \beta)}(x) F(x)\right\}\right|_{-1}^{1}. \end{aligned}$$При $\alpha=\beta=0$ преобразование Якоби переходит в интегральное преобразование Лежандра, при $\alpha=\beta=\nu-\frac{1}{2}$ – в преобразование Гегенбауэра.

Преобразование Якоби применяется при решении дифференциальных уравнений, содержащих оператор $T$. Преобразование Якоби введено также для специального класса обобщённых функций.