Преобразова́ние Гегенба́уэра, интегральное преобразование $T\{F(t)\}$ функции $F(t)$:

$$T\{F(t)\}=\int_{-1}^{+1}(1-t^2)^{\rho-1/2} C_{n}^{\rho}(t) F(t)\,dt=f_{n}^{\rho},$$где $\rho>-1/2$, $n=0,1,2,\ldots$, а $C_{n}^{\rho}(t)$ – многочлены Гегенбауэра. Если функция разлагается в обобщённый ряд Фурье по многочленам Гегенбауэра, то имеет место формула обращения

$$F(t)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!(n+\rho) \Gamma^{2}(\rho) 2^{2 \rho-1}}{\pi \Gamma(n+2\rho)} C_{n}^{\rho}(t)f_{n}^{\rho},\quad -1<t<1.$$Преобразование Гегенбауэра сводит дифференциальную операцию $R[F(t)]=(1-t^{2}) F''-(2 \rho+1)t F'$ к алгебраической $T\{R[F(t)]\}=-n(n+2 \rho) f_{n}^{\rho}$.