Термины

Интегральное преобразование Лежандра

Интегра́льное преобразова́ние Лежа́ндра, вида

f(n)=T{F(x)}=11Pn(x)F(x)dx,n=0,1,2,,f(n)=T\{F(x)\}=\int_{-1}^{1}P_{n}(x)F(x)\,dx,\quad n=0,1,2,\ldots,где Pn(x)P_{n}(x) порядка nn. Формула обращения имеет вид T1{f(n)}=F(x)=n=0(n+12)Pn(x)f(n),1<x<1,T^{-1}\{f(n)\}=F(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \left(n+\frac{1}{2}\right) P_{n}(x) f(n), \quad -1<x<1,если ряд сходится. Интегральное преобразование Лежандра сводит дифференциальную операцию

ddx(1x2)ddx\frac{d}{d x}(1-x^{2}) \frac{d}{d x} к алгебраической по формуле

T{ddx(1x2)dF(x)dx}=n(n+1)f(n),n=0,1,2,T\left\{\frac{d}{d x}(1-x^{2})\frac{d F(x)}{d x}\right\}=-n(n+1) f(n),\quad n=0,1,2, \ldotsДля преобразования Лежандра имеет место теорема о свёртке: если

T{Fi(x)}=fi(n),i=1,2,T\left\{F_{i}(x)\right\}=f_{i}(n),\quad i=1,2, то

f1(n)f2(n)=T{h(x)},f_{1}(n) f_{2}(n)=T\{h(x)\},где

h(x)=1πE(x)f1(ξ)f2(ξ)(1x2ξ2η2+2xξη)1/2dξdη,h(x)=\frac{1}{\pi} \iint_{E(x)} f_{1}(\xi) f_{2}(\xi)(1-x^{2}-\xi^{2}-\eta^{2}+2 x \xi \eta)^{-1/2}\,d\xi\,d\eta,

E(x)E(x) – внутренность эллипса ξ2+η22xξη=1x2\xi^{2}+\eta^{2}-2 x\xi\eta=1-x^{2}. Интегральное преобразование Лежандра является частным случаем .

Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.
  • Формула обращения