Интегральное преобразование Лежандра

Интегра́льное преобразова́ние Лежа́ндра, интегральное преобразование вида

$$f(n)=T\{F(x)\}=\int_{-1}^{1}P_{n}(x)F(x)\,dx,\quad n=0,1,2,\ldots,$$где $P_{n}(x)$ – многочлен Лежандра порядка $n$. Формула обращения имеет вид $$T^{-1}\{f(n)\}=F(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \left(n+\frac{1}{2}\right) P_{n}(x) f(n), \quad -1<x<1,$$если ряд сходится. Интегральное преобразование Лежандра сводит дифференциальную операцию

$$\frac{d}{d x}(1-x^{2}) \frac{d}{d x}$$к алгебраической по формуле

$$T\left\{\frac{d}{d x}(1-x^{2})\frac{d F(x)}{d x}\right\}=-n(n+1) f(n),\quad n=0,1,2, \ldots$$Для преобразования Лежандра имеет место теорема о свёртке: если

$$T\left\{F_{i}(x)\right\}=f_{i}(n),\quad i=1,2,$$то

$$f_{1}(n) f_{2}(n)=T\{h(x)\},$$где

$$h(x)=\frac{1}{\pi} \iint_{E(x)} f_{1}(\xi) f_{2}(\xi)(1-x^{2}-\xi^{2}-\eta^{2}+2 x \xi \eta)^{-1/2}\,d\xi\,d\eta,$$

$E(x)$ – внутренность эллипса $\xi^{2}+\eta^{2}-2 x\xi\eta=1-x^{2}$. Интегральное преобразование Лежандра является частным случаем преобразования Якоби.