После́дний мно́житель Яко́би, последний из интегрирующих множителей в процедуре интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Напомним известную теорему Якоби из теории дифференциальных уравнений. Пусть задана система обыкновенных дифференциальных уравнений

$$\begin{aligned} & \dot{x}_1=v_1(x_1,x_2),\\ & \dot{x}_2=v_2(x_1,x_2) \end{aligned} \tag{1}$$в области $D$ плоскости $\mathbf{R}^2\{x_1,x_2\}$, при этом функции $v_1, v_2$ двух переменных принадлежат классу гладкости $C^1(D)$, которую можно формально переписать как

$$\frac{dx_1}{v_1(x_1,x_2)}=\frac{dx_2}{v_2(x_1,x_2)} \tag{2}$$или

$$v_2(x_1,x_2)dx_1-v_1(x_1,x_2)dx_2=0. \tag{3}$$Для нахождения первого интеграла уравнения (3) следует найти такую функцию (множитель Якоби) $\rho(x_1,x_2)$, умножение на которую уравнения (3) обращало бы его левую часть в полный дифференциал некоторой функции $F(x_1,x_2)\in C^2(D)$, т. е. чтобы выполнялось равенство

$$\rho(x_1,x_2)[v_2(x_1,x_2)dx_1-v_1(x_1,x_2)dx_2]=dF(x_1,x_2).$$Действительно, если такой множитель существует, то в силу системы (1) справедливо равенство

$$dF(x_1,x_2)=0,$$т. е. $F(x_1,x_2)=\textrm{const}$ и есть искомый интеграл.

Интегрирующий множитель (множитель Якоби) находится путём решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных.

В самом деле, т. к.

$$dF(x_1,x_2)=\frac{\partial F}{\partial x_1}~dx_1+\frac{\partial F}{\partial x_2}~dx_2,$$то из определения множителя $\rho(x_1,x_2)$ следует, что

$$\frac{\partial F}{\partial x_1}=\rho(x_1,x_2)v_2(x_1,x_2),\quad\frac{\partial F}{\partial x_2}=-\rho(x_1,x_2)v_1(x_1,x_2).$$Поскольку $F(x_1,x_2)\in C^2(D)$, то

$$\frac{\partial^2F}{\partial x_1\partial x_2}=\frac{\partial^2F}{\partial x_2\partial x_1},$$а значит,

$$\begin{gathered} \frac{\partial}{\partial x_1}\left[\rho(x_1,x_2)v_1(x_1,x_2)\right]+\frac{\partial}{\partial x_2}\left[\rho(x_1,x_2)v_2(x_1,x_2)\right]=\\ =\textrm{div}\left[\rho(x_1,x_2)v(x_1,x_2)\right]=0, \end{gathered} \tag{4}$$где $v(x_1,x_2)$ – векторное поле системы (1) в координатах $x_1, x_2$.

Уравнение (4) допускает гидродинамическую интерпретацию. Уравнение (4) является уравнением неразрывности для стационарного плоскопараллельного течения жидкости с плотностью $\rho(x_1,x_2)$ и полем скоростей $v(x_1,x_2)$.

Для нахождения первого интеграла исходной системы (1) достаточно решить линейное дифференциальное уравнение (4) в частных производных относительно функции $\rho(x_1,x_2)$ (найти любое частное решение этого уравнения).

2. Аналогичные рассуждения имеют место и для автономной системы $n$-го порядка:

$$\begin{aligned} & \dot{x}_1=v_1(x_1,\ldots,x_n),\\ & \quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\\ & \dot{x}_n=v_n(x_1,\ldots,x_n) \end{aligned} \tag{5}$$в области $D$ пространства $\mathbf{R}^n\{x_1,\ldots,x_n\}$, при этом функции $v_1, \ldots, v_n$ от $n$ переменных принадлежат классу гладкости $C^1(D)$. Систему (1) можно формально переписать подобно (2):

$$\frac{dx_1}{v_1(x_1,\ldots,x_n)}=\ldots=\frac{dx_n}{v_n(x_1,\ldots,x_n)}. \tag{6}$$Последним (интегрирующим) множителем Якоби для системы (6) будем называть функцию $\rho(x_1,\ldots,x_n)$, являющуюся одним из решений уравнения

$$\begin{gathered} \frac{\partial}{\partial x_1}\left[\rho(x_1,\ldots,x_n)v_1(x_1,\ldots,x_n)\right]+\ldots+\frac{\partial}{\partial x_n}\left[\rho(x_1,\ldots,x_n)v_n(x_1,\ldots,x_n)\right]=\\ =\textrm{div}\left[\rho(x_1,\ldots,x_n)v(x_1,\ldots,x_n)\right]=0, \end{gathered}$$где $v(x_1,\ldots,x_n)$ – векторное поле системы (5) в координатах $x_1, \ldots, x_n$.

Тогда справедлива классическая теорема Якоби.

Теорема. Если для системы дифференциальных уравнений (6) в окрестности неособой точки известен последний множитель $\rho(x_1,\ldots,x_n)>0$ и $n-2$ функционально независимых первых интеграла

$$\begin{aligned} & f_3(x_1,\ldots,x_n)=\textrm{const},\\ & \quad\ldots\qquad\ldots\qquad\ldots\qquad\\ & f_n(x_1,\ldots,x_n)=\textrm{const} \end{aligned}$$класса гладкости $C^1$, то она интегрируема в квадратурах.