Почтикольцо́, одно из обобщений понятия ассоциативного кольца. Почтикольцо – это кольцоид над группой, т. е. универсальная алгебра, в которой имеется ассоциативная операция умножения и операция сложения; относительно сложения почтикольцо должно быть группой (не обязательно коммутативной), причём должен также выполняться правый закон дистрибутивности:

$$x(y+z)=x y+x z .$$Полукольца являются также частным случаем мультиоператорных грyпп.

Примерами полукольца являются множества $M_S(\Gamma)$ всех отображений группы $\Gamma$ в себя, перестановочных с действием фиксированной полугруппы эндоморфизмов $S$ группы $\Gamma$. Групповые операции в $M_S(\Gamma)$ вводятся поточечно, умножением в $M_S(\Gamma)$ является композиция отображений. Почтикольцо $M_S(\Gamma)$ является аналогом кольца матриц. Обычным образом вводятся понятия подпочтикольца, идеала, правого модуля над почтикольцом.

Пусть $N_0$ (соответственно $N_c$) – многообразие почтикольца, задаваемое тождеством $0 x=0$ (соответственно $0 x=x$). Любое почтикольцо $A$ разлагается в сумму подпочтиколец $A=A_0+A_c$, где $A_0 \in N_0$, $A_c \in N_c$, причём $A_0 \cap A_c=0$. Циклический правый $A$-модуль $M$ называется примитивным типа $0$, если $M$ прост, примитивным типа $1$, если либо $x A=0$, либо $x A=M$ для любого $x \in M$, и примитивным типа $2$, если $M$ является простым $A_0$-модулем. Почтикольцо $A$ называется примитивным типа $\nu$ $(\nu=0,1,2)$, если существует точный простой $A$-модуль $\Gamma$ типа $\nu$. При этом возникает плотное вложение почтикольца $A$ в $M_S(\Gamma)$ для некоторой полугруппы эндоморфизмов $S$ группы $\Gamma$. Для $2$-примитивных почтиколец $A$ с единицей и условием минимальности для правых идеалов в $A_0$ имеет место равенство $A=M_S(\Gamma)$ (аналог теоремы Веддерберна – Артина). Для каждого $\nu=0,1,2$ вводится понятие радикала Джексона типа $\nu$, обозначаемого $J_\nu(A)$, он определяется как пересечение аннуляторов $\nu$-примитивных $A$-модулей. Радикал $J_{1 / 2}(A)$ определяется как пересечение максимальных правых модулярных идеалов. Все четыре радикала различны, причём

$$J_0(A) \subseteq J_{1 / 2}(A) \subseteq J_1(A) \subseteq J_2(A) .$$Оказывается, что эти радикалы обладают многими свойствами радикала Джекобсона ассоциативных колец (Pilz. 1977).

Для почтиколец справедлив аналог теоремы Оре о почтикольцах частных (Pilz. 1977).

Дистрибутивно порождённым почтикольцом называется почтикольцо, аддитивная группа которого порождается такими элементами $x$, что

$$(y+z) x=y x+z x$$для всех $y, z$ из почтикольца. Все дистрибутивно порождённые почтикольца порождают многообразие $N_0$. Для конечных дистрибутивно порождённых почтиколец понятия $1$- и $2$-примитивности совпадают; $1$-примитивные дистрибутивно порождённые почтикольца имеют вид $M_0(\Gamma)$ для некоторой группы $\Gamma$. В дистрибутивно порождённом почтикольце, с тождеством

$$(x y-y x)^{n(x, y)}=x y-y x,\quad n(x, y)>1,$$умножение коммутативно (Ligh. 1975, Pilz. 1977).

Каждое почтикольцо из $N_0$, не содержащее нильпотентных элементов, является подпрямым произведением почтиколец без делителей нуля (Pilz. 1977). Почтиалгебра $A$ разлагается в прямую сумму простых почтиколец тогда и только тогда, когда а) она удовлетворяет условию минимальности для главных идеалов, б) в $A$ нет идеалов с нулевым умножением, в) аннулятор любого минимального идеала максимален (Bell. 1977).

Для почтиколец получены результаты, аналогичные результатам о строении регулярных колец (Heatherly. 1974), о почтикольцах частных (Oswald. 1979). Почтикольца имеют приложения к изучению групп подстановок, блок-схем, проективной геометрии (Pilz. 1977).