Пара́метры Кэ́ли – Кле́йна, некоторые специальные координаты в группе вращений трёхмерного пространства $S O(3)$, построение которых в конечном счёте основано на связи между $S O(3)$ и группой $S U(2)$ унитарных матриц 2-го порядка с единичным определителем. Существует отображение $\varphi: S U(2) \rightarrow S O(3)$, являющееся эпиморфизмом по своим алгебраическим свойствам и двулистным накрытием – по топологическим. (Рассматриваемое в некоторой окрестности единичной матрицы, это отображение обладает свойствами изоморфизма, поэтому говорят, что $S O(3)$ и $S U(2)$ локально изоморфны.) Каждая матрица $V \in S U(2)$ имеет вид $\left\|_{-\bar{\beta}} \frac{\alpha}{\alpha}\right\|$, где $\alpha$, $\beta$ – комплексные числа, связанные соотношением $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. Их и принимают за параметры Кэли – Клейна для $A=\varphi(V)$. (Иногда под параметрами Кэли – Клейна понимают все четыре коэффициента матрицы $V$.) Построение конкретного отображения $\varphi$ с указанными свойствами можно осуществить по-разному, поэтому у различных авторов имеются некоторые различия в определении параметров Кэли – Клейна (см. Голдстейн. 1975; Синг. 1963).

Поскольку $\varphi$ является не настоящим изоморфизмом, а только двулистным накрытием, то невозможно определить параметры Кэли – Клейна как (непрерывные) координаты на всей группе $S O(3)$; это можно сделать лишь локально. Однако параметры Кэли – Клейна можно использовать для изучения процесса вращения, при котором $A$ непрерывно зависит от действительного параметра $t$ (причём здесь нет необходимости как-либо ограничивать область возможных значений $A$). Действительно, если для некоторого $t=t_0$ выбрано какое-то фиксированное значение прообраза $V\left(t_0\right) \in \varphi^{-1}\left(A\left(t_0\right)\right)$, то по непрерывности для всех $t$ однозначно определяются соответствующие $V(t)$. (Двузначность полного прообраза $\varphi^{-1}$ проявляется лишь в том, что равенство $A(t)=A(s)$ имеет место не только при $V(t)=V(s)$, но и при $V(t)=-V(s)$.) Поэтому параметры Кэли – Клейна можно применять при исследовании движений твёрдого тела с неподвижной точкой (его конфигурационное пространство совпадает с $S O(3)$). Такой подход принят в (Klein. 1965), однако он не получил широкого распространения.

Группа $S U(2)$ изоморфна группе кватернионов с единичной нормой, поэтому, переходя от $V$ к соответствующему кватерниону $\rho+\lambda i+\mu j+\nu k$, можно вместо параметров Кэли – Клейна пользоваться параметрами Эйлера – Родрига четырьмя действительными числами $\rho$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, удовлетворяющими соотношению $\rho^2+\lambda^2+\mu^2+\nu^2=1$. Они связаны простыми формулами c параметрами Кэли – Клейна (см. Klein. 1965; Синг. 1963) и обладают тем же свойством «двузначности» (историю вопроса см. в Klein. 1965). По существу, в относящихся сюда исследованиях впервые рассматривались двузначные представления группы вращениӥ (см. Спинор).