Опо́рная фу́нкция (опорный функционал) множества $A$, лежащего в векторном пространстве $X$, функция $s A$, задаваемая в находящемся с ним в двойственности векторном пространстве $Y$ соотношением

$$(s A)(y)=\sup _{y \in A}\langle x, y\rangle.$$Например, опорная функция единичного шара в нормированном пространстве, рассматриваемом в двойственности со своим сопряжённым пространством, – это норма в последнем.

Опорная функция всегда выпуклая, замкнутая и положительно однородная (первой степени). Оператор $s: A \rightarrow s A$ взаимно однозначно отображает совокупность выпуклых замкнутых множеств в $X$ на совокупность выпуклых замкнутых однородных функций, обратный оператор не что иное, как субдифференциал (в нуле) опорной функции. Именно, если $A$ – выпуклое замкнутое подмножество в $X$, то $\partial(s A)=A$, и если $p$ – выпуклая замкнутая однородная функция на $Y$, то $s(\partial p(0))=p$. Эти два соотношения (являющиеся следствием теоремы Фенхеля – Моро, см. в статье Сопряжённая функция) и выражают двойственность между замкнутыми выпуклыми множествами и выпуклыми замкнутыми однородными функциями.

Примеры соотношений, связывающих оператор $s$ c алгебраическими и теоретико-множественными операциями:

$$\begin{aligned} & s(\lambda C)=\lambda s C, \quad \lambda>0 ;\quad s\left(A_1+A_2\right)=s A_1+s A_2; \\ & s\left(\operatorname{conv}\left(A_1 \cup A_2\right)\right)(x)=\max (s A_1(x), s A_2(x)) . \end{aligned}$$