Объе́кт свя́зности, дифференциально-геометрический объект на гладком главном расслоенном пространстве $P$, с помощью которого задаётся горизонтальное распределение $\Delta$ связности в $P$. Пусть $R_0(P)$ является расслоением всех таких реперов в касательных к $P$ пространствах, что первые $r$ векторов $e_1, \ldots, e_r$ касательны к слою и порождаются определёнными $r$ базисными элементами в алгебре Ли структурной группы $G$ пространства $P$, $r=\operatorname{dim} G$. Объекты связности составляют тогда функции $\Gamma_i^\rho$ на $R_0(P)$ такие, что подпространство распределения $\Delta$ натянуто на векторы $e_i+\Gamma_i^\rho e_\rho$ $(\rho, \sigma=1, \ldots, r ;\, i, j, \ldots=r+1, \ldots, r+n)$. Условия, которым должны удовлетворять функции $\Gamma_i^\rho$ на $R_0(P)$, чтобы они составили объект связности, следующие:$$\tag{1}d \Gamma_i^\rho-\Gamma_j^\rho \omega_i^j+\Gamma_i^\sigma \omega_\sigma^\rho+\omega_i^\rho=\Gamma_{i j}^\rho \omega^j.$$Они выражены с помощью 1-форм на $R_0(P)$, входящих в структурные уравнения для форм $\omega^i$, $\omega^\rho$, составляющих дуальный кобазис к $\left\{e_i, e_\rho\right\}$:$$\tag{2}\left.\begin{array}{rl} d \omega^i & =\omega^j \wedge \omega_j^i, \\ d \omega^\rho & =-\frac{1}{2} C_{\sigma \tau}^\rho \omega^\sigma \wedge \omega^\tau+\omega^i \wedge \omega_i^\rho, \\ \omega_\sigma^\rho & =-C_{\sigma \tau}^\rho \omega^\tau. \end{array}\right\}$$Объект связности определяет также форму связности $\theta$ согласно формуле $\theta^\rho=\omega^\rho-\Gamma_i^\rho \omega^i$ и форму кривизны $\Omega$ согласно формулам$$\begin{gathered} \Omega^\rho=-\frac{1}{2} R_{i j}^\rho \omega^i \wedge \omega^j, \\ R_{i j}^\rho=-2\left(\Gamma_{[i j]}^\rho+C_{\sigma \tau}^\rho \Gamma_i^\sigma \Gamma_j^\tau\right) . \end{gathered}$$Например, пусть $P$ является пространством аффинных реперов в касательных пространствах $n$-мерного гладкого многообразия $M$. Тогда вторые из уравнений (2) имеют вид$$d \omega_j^i=-\omega_k^i \wedge \omega_j^k+\omega^k \wedge \omega_{j k}^i$$и (1) сводятся к$$\begin{aligned} & d \Gamma_{i k}^i-\Gamma_{l k}^j \omega_i^l-\Gamma^j{ }_{i l} \omega_k^l+\Gamma_{i k}^l \omega_l^j+\omega_{i k}^i=\Gamma_{j k l}^i \omega^l . \end{aligned}$$При параллельном перенесении должно быть $\omega_j^i-\Gamma_{j k}^i \omega^k=0$. Если на $M$ выбрана локальная карта и в её области сделан переход к натуральному реперу карты, то $\omega^k=d x^k$ и параллельное перенесение определяется с помощью $\omega_j^i=\Gamma_{j k}^i d x^k$. Классическое определение объекта связности аффинной связности на $M$ как совокупности функций $\Gamma_{j k}^i$, заданных на области каждой карты и преобразующихся при переходе к координатам другой карты по формулам$$\Gamma_{j^{\prime} k^{\prime}}^{i^{\prime}}=\frac{\partial x^{i^{\prime}}}{\partial x^i} \frac{\partial x^j}{\partial x^{j^{\prime}}} \frac{\partial x^k}{\partial x^{k^{\prime}}} \Gamma_{j k}^i+\frac{\partial^2 x^i}{\partial x^{j^{\prime}} \partial x^{k \prime}} \frac{\partial x^{i^{\prime}}}{\partial x^i},$$следует из условия инвариантности перенесения.