Мультипликати́вная решётка, полная решётка $L=\langle L, \vee, \wedge\rangle$ с дополнительной бинарной коммутативной и ассоциативной операцией, называемой умножением (и обозначаемой $\cdot$), такой, что наибольший элемент решётки играет роль мультипликативной единицы и

$$b \cdot\left(\vee_{\alpha \in J} b_{\alpha}\right)=\vee_{\alpha \in J} b\cdot b_\alpha$$для любых $b, b_\alpha \in L$ и произвольного множества индексов $J$. Теория мультипликативных решёток возникла как результат применения теоретико-структурных методов к изучению решёток идеалов коммутативных колец (Dilworth. 1962), и поэтому большинство понятий и результатов имеет аналоги (или приложения) в коммутативных кольцах (Бурбаки. 1971).

Пусть $L$ – мультипликативная решётка и $a, b \in L$, тогда $a: b=\vee\{x \mid x \in L, x \cdot b \leqslant a\}$. Элемент $e \in L$ называется $\vee$-главным (соответственно $\wedge$-главным), если $(a \vee(b \cdot e)): e=(a: e) \vee b$ [соответственно $(a \wedge(b: e)) \cdot e=(a \cdot e) \wedge b$] для любых $a, b \in L$; $\vee$-главный и $\wedge$-главный одновременно элемент называется главным. Нётеровой решёткой называется модулярная и удовлетворяющая условию обрыва возрастающих цепей мультипликативная решётка, в которой каждый элемент является объединением некоторых главных элементов. Полная решётка $M$ называется модулем над мультипликативной решёткой $L$, если для любых $\lambda \in L$, $a \in M$ определено произведение $\lambda a \in M$, причём
$$\begin{aligned} \left(\lambda_1 \lambda_2\right) a=\lambda_1\left(\lambda_2 a\right), \quad 1 a&=a,\quad 0_L a=0_M, \\ \left(\vee_{\alpha \in I} \lambda_\alpha\right)\left(\vee_{\beta \in J} a_\beta\right)&=\vee_{\alpha, \beta} \lambda_\alpha a_\beta \end{aligned}$$(здесь $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_\alpha \in L, a, a_\beta \in M, 1$ – наибольший элемент в $L$ и $0_L, 0_M$ – нули решёток $L$ и $M$ соответственно).

Наиболее изученный класс мультипликативных решёток – нётеровы решётки. Здесь можно выделить следующие направления. 1) Вопросы представления нётеровой решётки как решётки идеалов подходящего нётерова кольца [известно, что решётка идеалов любого нётерова кольца – нётерова, однако существуют нётеровы решётки, которые не могут быть даже вложены в решётку идеалов нётерова кольца (Bogart. Distributive local Noether lattices. 1969)]. 2) Изучение нётеровых модулей над мультипликативной решёткой. 3) Изучение понятий и свойств, которые переносятся на нётеровы решётки из теории идеалов нётеровых колец (понятия простого и примарного элементов, размерности, собственного максимального элемента, полулокальной и локальной решётки). Описаны (Bogart. 1968; Bogart. Nonimbeddable Noether lattices. 1969) дистрибутивные регулярные локальные нётеровы мультипликативные решётки. Построена теория локализации и ассоциированных простых элементов для гораздо более широкого, чем нётеровы, класса мультипликативных решёток, включающего в себя решётки идеалов произвольных коммутативных колец.