Ме́тод сумми́рования Фе́йера, метод суммирования средних арифметических, применённый к суммированию рядов Фурье. Впервые был применён Л. Фейером (Fejér. 1903).

Ряд Фурье

$$\tag{1} \frac12+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$функции $f(x)\in L(-\pi,\pi)$ суммируем методом суммирования Фейера к сумме $s(x)$, если

$$\lim_{n\to\infty}\sigma_n(x)=s(x),$$где

$$\tag{2} \sigma_n(x)=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n s_k(x),$$$s_k(x)$ – частичные суммы ряда (1).

Если $x$ – точка непрерывности функции $f(x)$ или точка разрыва 1-го рода, то в этой точке её ряд Фурье суммируем методом суммирования Фейера соответственно к $f(x)$ или $\dfrac{f(x{+}0)+f(x{-}0)}2$. Если $f(x)$ непрерывна на некотором интервале $(a,b)$, то её ряд Фурье суммируем методом суммирования Фейера равномерно на всяком отрезке $[\alpha,\beta]\subset (a, b)$; если же $f(x)$ непрерывна всюду, то указанный ряд суммируем равномерно к $f(x)$ на $[-\pi,\pi]$ (теорема Фейера).

Этот результат был усилен А. Лебегом (Lebesgue. 1905), показавшим, что для любой суммируемой функции $f(x)$ её ряд Фурье почти всюду суммируем методом суммирования Фейера к $f(x)$.

Функция

$$\begin{gathered} K_n(x)=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\left(\frac12+\sum_{\nu=1}^k\cos\nu x\right)\equiv\\ \equiv\frac1{2(n+1)}\left(\frac{\sin(n+1)\frac x2}{\sin\frac x2}\right)^2 \end{gathered}$$называется ядром Фейера. С её помощью средние Фейера (2) функции $f(x)$ выражаются в виде

$$\sigma_n(x)=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x+u)K_n(u)\,du.$$