Ма́трица Адама́ра, квадратная матрица $H=\left\|h_{i j}\right\|$ порядка $n$, элементы $h_{i j}$ которой суть $+1$ или $-1$, и такая, что имеет место равенство

$$H H^T=n I_n, \tag{*}$$где $H^T$ – транспонированная матрица $H$, а $I_n$ – единичная матрица порядка $n$. Равенство $(*)$ эквивалентно утверждению, что любые две строки $H$ ортогональны. Матрицы Адамара названы по имени Ж. Адамара, доказавшего (Hadamard. 1893), что определитель $|A|$ матрицы $A=\left\|a_{i j}\right\|$ порядка $n$, элементы $a_{i j}$ которой суть комплексные числа, удовлетворяет неравенству Адамара:

$$|A|^2 \leqslant \prod_{i=1}^n s_{i i},$$где

$$s_{i k}=\sum_{j=1}^n a_{i j} \overline{a_{k j}},$$$a_{k j}$ – элемент, сопряжённый $a_{k j}$ (см. Теорема Адамара об определителях). В частности, если $\left|a_{i j}\right| \leqslant M$, то $|A| \leqslant M^n n^{n/2}$. Отсюда следует, что матрица Адамара есть квадратная матрица из $\pm 1$ порядка $n$ с максимальным абсолютным значением определителя, равным $n^{n/2}$. Свойства матрицы Адамара: 1) из $H H^T=n I_n$ следует $H^T H=n I_n$, и наоборот; 2) перестановка строк или столбцов и умножение элементов какой-либо строки или столбца матрицы Адамара на $-1$ сохраняют свойство матрицы быть матрицей Адамара; 3) прямое произведение двух матриц Адамара есть снова матрица Адамара, порядок которой равен произведению порядков сомножителей. Иными словами, если $A= \left\|a_{i j}\right\|$ и $B=\left\|b_{i j}\right\|$ суть матрицы Адамара порядков $m$ и $n$ соответственно, то $C=\left\|a_{i j} B\right\|$ есть матрица Адамара порядка $m n$. Матрица Адамара, у которой первая строка и первый столбец состоят из $+1$, называется нормализованной. Порядок матрицы Адамара $n=1,2$ или $n \equiv 0\,(\bmod \,4)$. Нормализованные матрицы Адамара порядков $1$ и $2$ суть:

$$\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right].$$Существование матрицы Адамара доказано для нескольких классов значений $n$ (cм., например, Холл. 1970; Питерсон. 1964). Предположение о существовании матрицы Адамара для любого $n \equiv 0\,(\bmod \,4)$ остаётся (2022) недоказанным. Методы построения матрицы Адамара рассмотрены в (Холл M., 1970). Матрицы Адамара используются при построении некоторых типов блок-схем (Холл M., 1970) и кодов (Питерсон. 1964). Так, матрица Адамара порядка $n=4 t$ эквивалентна адамаровой $(v=4 t-1,\, b=2 t-1,\, \lambda=t-1)$-конфигурации.

Обобщённой матрицей Адамара называется квадратная матрица $H(p, h)$ порядка $h$, элементами которой являются корни $p$-й степени из единицы и которая удовлетворяет равенству

$$H H^{c T}=h I_h,$$где $H^{cT}$ – транспонированная матрица $H$ с сопряжёнными элементами, а $I_h$ – единичная матрица порядка $h$. Для обобщённых матриц Адамара справедливы свойства, аналогичные 1) и 3) (см. Butson. 1962).