Матрица Адамара

Ма́трица Адама́ра, квадратная матрица ${\displaystyle H=\left\|h_{ij}\right\|}$ порядка ${\displaystyle n}$, элементы ${\displaystyle h_{ij}}$ которой суть ${\displaystyle +1}$ или ${\displaystyle -1}$, и такая, что имеет место равенство

${\displaystyle HH^{T}=nI_{n},}$ (*)

где ${\displaystyle H^{T}}$ – транспонированная матрица ${\displaystyle H}$, а ${\displaystyle I_{n}}$ – единичная матрица порядка ${\displaystyle n}$. Равенство ${\displaystyle (*)}$ эквивалентно утверждению, что любые две строки ${\displaystyle H}$ ортогональны. Матрицы Адамара названы по имени Ж. Адамара, доказавшего (Hadamard. 1893), что определитель ${\displaystyle |A|}$ матрицы ${\displaystyle A=\left\|a_{ij}\right\|}$ порядка ${\displaystyle n}$, элементы ${\displaystyle a_{ij}}$ которой суть комплексные числа, удовлетворяет неравенству Адамара:

${\displaystyle |A|^{2}\leqslant \prod _{i=1}^{n}s_{ii}}$,

где

${\displaystyle s_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overline {a_{kj}}}}$,

${\displaystyle a_{kj}}$ – элемент, сопряжённый ${\displaystyle a_{kj}}$ (см. Теорема Адамара об определителях). В частности, если ${\displaystyle \left|a_{ij}\right|\leqslant M}$, то ${\displaystyle |A|\leqslant M^{n}n^{n/2}}$. Отсюда следует, что матрица Адамара есть квадратная матрица из ${\displaystyle \pm 1}$ порядка ${\displaystyle n}$ с максимальным абсолютным значением определителя, равным ${\displaystyle n^{n/2}}$. Свойства матрицы Адамара: 1) из ${\displaystyle HH^{T}=nI_{n}}$ следует ${\displaystyle H^{T}H=nI_{n}}$, и наоборот; 2) перестановка строк или столбцов и умножение элементов какой-либо строки или столбца матрицы Адамара на ${\displaystyle -1}$ сохраняют свойство матрицы быть матрицей Адамара; 3) прямое произведение двух матриц Адамара есть снова матрица Адамара, порядок которой равен произведению порядков сомножителей. Иными словами, если ${\displaystyle A=\left\|a_{ij}\right\|}$ и ${\displaystyle B=\left\|b_{ij}\right\|}$ суть матрицы Адамара порядков ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ соответственно, то ${\displaystyle C=\left\|a_{ij}B\right\|}$ есть матрица Адамара порядка ${\displaystyle mn}$. Матрица Адамара, у которой первая строка и первый столбец состоят из ${\displaystyle +1}$, называется нормализованной. Порядок матрицы Адамара ${\displaystyle n=1,2}$ или ${\displaystyle n\equiv 0\,({\bmod {\,}}4)}$. Нормализованные матрицы Адамара порядков ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 2}$ суть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}}\right]\end{aligned}}}$.

Существование матрицы Адамара доказано для нескольких классов значений ${\displaystyle n}$ (cм., например, ^[1]; ^[2]). Предположение о существовании матрицы Адамара для любого ${\displaystyle n\equiv 0\,({\bmod {\,}}4)}$ остаётся (2022) недоказанным. Методы построения матрицы Адамара рассмотрены в (Холл M., 1970). Матрицы Адамара используются при построении некоторых типов блок-схем (Холл M., 1970) и кодов (Питерсон. 1964). Так, матрица Адамара порядка ${\displaystyle n=4t}$ эквивалентна адамаровой ${\displaystyle (v=4t-1,\,b=2t-1,\,\lambda =t-1)}$-конфигурации.

Обобщённой матрицей Адамара называется квадратная матрица ${\displaystyle H(p,h)}$ порядка ${\displaystyle h}$, элементами которой являются корни ${\displaystyle p}$-й степени из единицы и которая удовлетворяет равенству

${\displaystyle HH^{cT}=hI_{h}}$,

где ${\displaystyle H^{cT}}$ – транспонированная матрица ${\displaystyle H}$ с сопряжёнными элементами, а ${\displaystyle I_{h}}$ – единичная матрица порядка ${\displaystyle h}$. Для обобщённых матриц Адамара справедливы свойства, аналогичные 1) и 3) (см. Butson. 1962).