Логи́ческие опера́ции, способы построения сложного высказывания из данных высказываний, при которых истинностное значение сложного высказывания [оно может принимать одно из двух значений – «истина» (И) или «ложь» (Л)] полностью определяется истинностными значениями исходных высказываний. Примерами логических операций являются дизъюнкция, конъюнкция, импликация, отрицание, а также кванторы.

Дизъюнкцией называется логическая операция, заключающаяся в соединении данных высказываний $A$ и $B$ в новое высказывание «$A$ или $B$». В формализованных языках дизъюнкция высказываний $A$ и $B$ обозначается $A\!∨\!B$ (читается: «$A$ или $B$», «имеет место $A$ или имеет место $B$»), $A$ и $B$ называются дизъюнктивными членами высказывания $A\!∨\!B$, $∨$ – знаком дизъюнкции. В обычной речи возможны два понимания союза «или»: в исключающем и неисключающем смыслах. При первом понимании высказывание «$A$ или $B$» означает, что истинно ровно одно из двух высказываний $A$ и $B$, при втором – что истинно хотя бы одно из них. В математической логике термин «дизъюнкция» относится к истолкованию союза «или» во втором смысле. Такому употреблению дизъюнкции соответствует т. н. истинностная таблица.

Истинностная таблица для дизъюнкции

Конъюнкцией называется логическая операция, заключающаяся в соединении двух данных высказываний $A$ и $B$ в новое высказывание «$A$ и $B$». В формализованных языках конъюнкция высказываний $A$ и $B$ обозначается $A \& B$ (а также $A\!∧\!B$, $A\!·\!B$, $AB$, читается: «$A$ и $B$», «имеет место $A$ и имеет место $B$»), $A$ и $B$ называются конъюнктивными членами высказывания $A \& B$, $\&$ – знаком конъюнкции. Употреблению конъюнкции в математической логике соответствует истинностная таблица.

Истинностная таблица для конъюнкции

Из таблицы видно, что высказывание $A \& B$ истинно только при истинности обоих высказываний $A$ и $B$.

Импликацией называется логическая операция, заключающаяся в соединении данных высказываний $A$ и $B$ в новое высказывание «если $A$, то $B$». В формализованных языках импликация высказываний $A$ и $B$ обозначается $A\Rightarrow B$ [а также $A→B, A⊃B$, читается: «если $A$, то $B$», «$A$ влечёт (имплицирует) $B$»]. Высказывание $A$ называется посылкой высказывания $A\Rightarrow B$, а высказывание $B$ – его заключением. В обычной речи утверждение «если $A$, то $B$», как правило, предполагает наличие причинной связи между тем, что утверждается в высказывании $A$, и тем, что утверждается в высказывании $B$, и его истинность зависит от смысла этих высказываний. В математической логике обычно учитывается лишь истинность или ложность высказываний, а не смысл. Поэтому импликация обычно понимается в соответствии с истинностной таблицей.

Истинностная таблица для импликации

Из таблицы видно, что высказывание $A\Rightarrow B$ считается ложным лишь в том случае, когда его посылка истинна, а заключение ложно. При таком понимании оказываются истинными, например, такие высказывания: «$2+2= 4 \Rightarrow \text{sin}\frac{\pi}2=1$», «$2 > 3 \Rightarrow4$ – простое число».

Отрицанием называется логическая операция, в результате которой из данного высказывания $A$ получается новое высказывание «не $A$». В формализованных языках высказывание, получающееся в результате отрицания высказывания $A$, обозначается $-A$ (а также $\bar{A}$, $A^′$, читается: «не $A$», «неверно, что $A$», «$A$ не имеет места»). Отрицание в математической логике задаётся истинностной таблицей.

Истинностная таблица для отрицания

См. также Алгебра логики.