Логарифми́ческий вы́чет мероморфной функции $w = f ( z)$ в точке $a$ расширенной плоскости комплексного переменного $z$, вычет $$\mathop{\rm res} _ {a} \ \frac{f ^ { \prime } ( z) }{f ( z) }$$логарифмической производной $f ^ { \prime } ( z) / f ( z)$ в точке $a$. Представив функцию $\mathop{\rm ln} f ( z)$ в окрестности $V ( a)$ точки $a \neq \infty$ в виде $\mathop{\rm ln} f ( z) = A \mathop{\rm ln} ( z - a ) + \varphi ( z)$, где $\varphi ( z)$ – регулярная функция в $V ( a)$, получают

$$\mathop{\rm res}_{a} \ \frac{f ^ { \prime } ( z) }{f ( z) } = A .$$Соответствующие формулы для случая $a$$= \infty$ имеют вид$$\mathop{\rm ln} f ( z) = A \mathop{\rm ln} \left ( \frac{1}{z} \right ) + \varphi ( z) ,$$$$\mathop{\rm res} _ \infty \frac{f ^ { \prime } ( z) }{f ( z) } = A .$$Если $a$ – нуль кратности $m$ функции $f ( z)$ или полюс кратности $m$, то логарифмический вычет $f ( z)$ в точке $a$ равен соответственно $m$ или $-m$; во всех остальных точках логарифмический вычет равен нулю.

Если $f ( z)$ – мероморфная функция в области $D$ и $\Gamma$ – спрямляемая жорданова кривая, расположенная в $D$ и не проходящая ни через нули, ни через полюсы $f ( z)$, то логарифмическим вычетом функции $f ( z)$ относительно контура $\Gamma$ называется интеграл

$$\frac{1}{2 \pi i } \int\limits _ \Gamma \frac{f ^ { \prime } ( z) }{f ( z) } d z = N - P \tag{1} ,$$который равен разности между числом нулей $N$ функции $f ( z)$ и числом полюсов $P$ внутри $\Gamma$ (с учётом их кратности). Геометрический смысл формулы (1) состоит в том, что при обходе контура $\Gamma$ в положительном направлении вектор $w = f ( z)$ делает $N-P$ оборотов вокруг начала координат $w = 0$ плоскости переменного $w$ (см. Принцип аргумента). В частности, если $f ( z)$ регулярна в $D$, т. е. $P = 0$, из (1) получается формула для вычисления индекса точки $w = 0$ относительно образа $\Gamma ^ {*} = f ( \Gamma )$ пути $\Gamma$ при помощи логарифмического вычета:

$$\mathop{\rm ind} _ {0} \Gamma ^ {*} = \ \frac{1}{2 \pi i } \int\limits _ \Gamma \frac{f ^ { \prime } ( z) }{f ( z) } d z \tag{2} .$$Формула (2) приводит к обобщению понятия логарифмического вычета для регулярных функций многих комплексных переменных в области $D$ комплексного пространства $\mathbf C ^ {n}$, $n \geqslant 1$. Пусть $w = f ( z) = ( f _ {1} \dots f _ {n} ) : D \rightarrow \mathbf C ^ {n}$ – голоморфное отображение такое, что якобиан $J _ {f} ( z) \not\equiv 0$ и множество нулей $E = f ^ { - 1 } ( 0)$ изолировано в $D$. Тогда для любой области $G \subset \overline{G}\; \subset D$, ограниченной простой гладкой замкнутой поверхностью $\Gamma$, не проходящей через нули $f$, имеем формулу для индекса точки $w = 0$ относительно образа $\Gamma ^ {*} = f ( \Gamma )$:$$\mathop{\rm ind} _ {0} \Gamma ^ {*} = \ \frac{1}{( 2 \pi i ) ^ {n} } \int\limits _ {\Gamma _ \varepsilon } \frac{d f _ {1} \wedge \dots \wedge d f _ {n} }{f _ {1} \dots f _ {n} } = N \tag{3} ,$$где интегрирование производится по $n$-мерному остову $\Gamma _ \varepsilon = \{ {z \in G } : {| f _ \nu ( z) | = \varepsilon, \nu = 1 \dots n } \}$ при достаточно малом $\varepsilon > 0$. Интеграл в формуле (3) выражает также сумму кратностей нулей отображения $f$ в $G$ (см. Шабат Б. В., 1976).