Квадрату́рная фо́рмула Га́усса, квадратурная формула вида

$$\int_a^b p(x) f(x) d x \approx \sum_{i=1}^n c_i f\left(x_i\right),$$в которой узлы $x_i$ и веса $c_i$ подбираются так, чтобы формула была точна для функций

$$\sum_{k=0}^{2 n-1} a_k \omega_k(x),$$где $\omega_k(x)$ – заданные линейно независимые функции (пределы интегрирования могут быть и бесконечными). Квадратурные формулы Гаусса введены К. Ф. Гауссом (Gauss. 1866) для $a=-1$, $b=1$, $p(x) \equiv 1$. Полученная им общая формула, точная для произвольного многочлена степени не выше $2 n-1$, имеет вид

$$\int_{-1}^1 f(x) d x=A_1^{(n)} f\left(x_1\right)+A_2^{(n)} f\left(x_2\right)+\ldots+A_n^{(n)} f\left(x_n\right)+R_n,$$где $x_k$ – корни многочлена Лежандра $P_n(x)$, а $A_k^{(n)}$ и $R_n$ определяются по формулам

$$\begin{aligned} A_k^{(n)}&=\frac{2}{\left(1-x_k^2\right)\left[P_n^{\prime}\left(x_k\right)\right]^2} ; \\ R_n&=\frac{2^{2 n+1}[n !]^4}{(2 n+1)[(2 n) !]^3} f^{(2 n)}(c), \quad-1<c<1 . \end{aligned}$$Применяется в тех случаях, когда подынтегральная функция достаточно гладкая, а выигрыш в числе узлов крайне существен: например, если $f(x)$ определяется из дорогостоящих экспериментов или при вычислении кратных интегралов как повторных. При практическом применении в таких случаях очень важен удачный подбор весовой функции $p(x)$ и функций $\omega_j(x)$.

Для широких классов $p(x)$ и $\omega_j(x)$ составлены таблицы узлов квадратурных формул Гаусса (Gauss. 1866), в частности в (Stroud. 1966) при $p(x)\equiv 1$, $\omega_j(x)=x^j$ до $n=512$.

При $p(x) \equiv 1$, $\omega_j(x)=x^j$ квадратурная формула Гаусса применяется в стандартных программах интегрирования с автоматическим выбором шага как метод вычисления интегралов по подотрезкам разбиения (Жилейкин. 1967).