Крити́ческий идеа́л, простой идеал дедекиндова кольца $A$, делящий дискриминант конечного сепарабельного расширения $K / k$, где $k$ – поле частных кольца $A$. Критические идеалы и только такие идеалы разветвлены в расширении $K / k$. Простой идеал $\mathfrak{p}$ кольца $A$ называется разветвлённым в $K / k$, если в целом замыкании $B$ кольца $A$ в поле $K$ имеет место равенство

$$\mathfrak{p} B=\mathfrak{B}_1^{l_1} \ldots \mathfrak{B}_s^{l_s},$$где $\mathfrak{B}_1, \ldots, \mathfrak{B}_s$ – некоторые простые идеалы кольца $B$ и хотя бы одно из чисел $l_i$ больше 1. Число $l_i$ называется индексом ветвления идеала $\mathfrak{B}_i$.

Если $K / k$ – расширение Галуа с группой Галуа $G(K / k)$, то $l_1=l_2=\ldots=l_s$ и индекс $l_i$ совпадает с порядком подгруппы инерции $T\left(\mathfrak{B}_i\right)$ группы $G(K / k)$:

$$T\left(\mathfrak{B}_i\right)=\left\{\sigma \in G(K / k) \mid \sigma a-a \in \mathfrak{B}_i\; \text { для всех }\; a \in B\right\} .$$Другой, более тонкой характеристикой ветвления является подгруппа высшего ветвления $T\left(\mathfrak{B}_i\right)_n \subset T\left(\mathfrak{B}_i\right)$, $n=1,2, \ldots$, определяемая следующим образом:

$$T\left(\mathfrak{B}_i\right)_n=\left\{\sigma \in G(K / k) \mid \sigma(a)-a \in \mathfrak{B}_i^{n+1}\; \text{ для всех }\; a \in B\right\}.$$Пусть $A=\mathbb{Z}$; согласно теореме Минковского в любом конечном расширении поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ существуют критические идеалы. Для произвольных полей алгебраических чисел это не так: если поле $k$ не одноклассно, т. е. имеет нетривиальную группу классов идеалов, то над $k$ существуют неразветвлённые расширения, т. е. расширения, не имеющие критических идеалов. Пример такого расширения – гильбертово поле классов поля $k$: так, поле $\mathbb Q(\sqrt{5}, \sqrt{-5})$ совпадает с гильбертовым полем классов поля $\mathbb Q(\sqrt{-5})$ и не разветвлено над полем $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$.