Конста́нты Лебе́га, величины$$L_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi\left|D_n(t)\right| d t,$$где$$D_n(t)=\frac{\sin (n+1 / 2) t}{2 \sin t / 2}$$есть ядро Дирихле. Константа Лебега $L_n$ при каждом $n$ является:

1) максимальным значением $\left|S_n(f, x)\right|$ для всех $x$ и функций $f(t)$ таких, что $|f(t)| \leqslant 1$ при почти всех $t$;

2) точной верхней гранью $\left|S_n(f, x)\right|$ для всех $x$ и всех непрерывных функций $f(t)$ таких, что $|f(t)| \leqslant 1$;

3) точной верхней гранью интегралов$$\int_0^{2 \pi}\left|S_n(f, x)\right| d x$$для всех функций $f(t)$ таких, что$$\int_0^{2 \pi}|f(t)| d t \leqslant 1.$$Здесь $S_n(f, x)$ есть частная сумма ряда Фурье по тригонометрической системе $2 \pi$-периодической функции $f(t)$. Справедлива асимптотическая формула:$$L_n=\frac{4}{\pi^2} \ln n+O(1),\quad n \longrightarrow \infty.$$В частности, $L_n \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$, что связано с расходимостью тригонометрических рядов Фурье некоторых непрерывных функций. В более широком смысле константы Лебега определяются для других ортонормированных систем как величины$$L_n=\operatorname{vrai}_{x \in(a, b)} \int_a^b\left|D_n(x, t)\right| d t,$$где $D_n(x, t)$ есть ядро Дирихле для данной ортонормированной на $(a, b)$ системы функций, и играют важную роль в вопросах сходимости рядов Фурье по этим системам. Константы Лебега введены А. Лебегом (Н. Lebesgue, 1909). См. также Функции Лебега.

2) Константы Лебега интерполяционного процесса – числа$$\lambda_n=\max _{a \leqslant x \leqslant b} \sum_{k=0}^n\left|l_{n k}(x)\right|,\quad n=1,2, \ldots,$$где$$l_{n k}(x)=\prod_{j \neq k} \frac{x-x_j}{x_k-x_j},$$$x_0, x_1, \ldots, x_n$ – попарно различные узлы интерполяции, лежащие на некотором отрезке $[a, b]$.

Пусть $C[a, b]$ и $\mathscr{P}_n[a, b]$ – соответственно пространства непрерывных на отрезке $[a, b]$ функций и многочленов степени не выше чем $n$, рассматриваемых на том же отрезке, с равномерной метрикой, и пусть $P_n(x, f)$ – интерполяционный многочлен степени $n$, принимающий в узлах $x_k$, $k=0,1, \ldots, n$, те же значения, что и функция $f$. Если через $P_n$ обозначить оператор, ставящий в соответствие функции $f(x)$ многочлен $P_n(x, f)$, $P_n: C[a, b] \rightarrow \mathscr{P}_n[a, b]$, то $\left\|P_n\right\|=\lambda_n$, где слева стоит норма оператора в пространстве линейных ограниченных операторов $\mathscr{L}\left(C[a, b], P_n[a, b]\right)$ и$$\left\|f(x)-P_n(x, f)\right\|_{C[a, b]} \leqslant\left(1+\lambda_n\right) E_n(f),$$где $E_n(f)$ – наилучшее приближение функции $f$ алгебраическими многочленами степени $\leqslant n$.

При любом выборе на отрезке $[a, b]$ узлов интерполяции $\lim _{n \rightarrow \infty} \lambda_n=+\infty$. Для равноотстоящих узлов существует такая постоянная $c>0$, что $\lambda_n \geqslant c 2^n n^{-3 / 2}$. Для узлов, совпадающих с нулями многочлена Чебышёва, константы Лебега имеют минимальный порядок возрастания, именно:$$\lambda_n \asymp \ln n.$$Если функция $f m$ раз дифференцируема на отрезке $[a, b]$, $Y=\left\{y_k\right\}_{k=0}^n$ – заданный набор чисел [«приближений значений $f\left(x_k\right)$»], $P_n(x, Y)$ – интерполяционный многочлен степени $n$, принимающий в узлах $x_k$, $k=0, 1, . ., n$, значения $y_k$,$$\lambda_{n m}=\max _{a \leqslant x \leqslant b} \sum_{k=1}^n\left|l_{n k}^{(m)}(x)\right|, \quad n=0,1, \ldots,$$то$$\left\|f^{(m)}(x)-P_n^{(m)}(x, Y)\right\|_{C[a, b]} \leqslant \left\|f^{(m)}(x)-P_n^{(m)}(x, f)\right\|_{C[a, b]}+\lambda_{n m} \max _{k=0,1, \ldots, n}\left|f\left(x_k\right)-y_k\right|.$$Константы Лебега $\lambda_{n m}$ произвольного отрезка $[a, b]$ связаны с аналогичными константами $\Lambda_{n m}$ для отрезка $[-1,1]$ соотношением$$\Lambda_{n m}=\left(\frac{b-a}{2}\right)^m \lambda_{n m},$$в частности $\lambda_n=\Lambda_n$.