Комплемента́рный ква́нтовый кана́л, квантовый канал, для которого в его представлении Стайнспринга усреднение ведётся по исходной квантовой системе вместо окружения. Из представления Стайнспринга вытекает, что квантовый канал можно получить через усреднение составной системы, состоящей из исходной квантовой системы и пространства окружения, по окружению. Таким образом, определение комплементарного канала предполагает, что исходная система и окружение меняются местами.

Математическое определение

Из теоремы Стайнспринга (Stinespring. 1955) следует, что для квантового канала $\Phi$ из системы $A$ в систему $B$ (в картине Шрёдингера) определено представление Стайнспринга $$\tag{1}\Phi(\rho)=\mathrm{Tr}_{\mathcal{H}_E} V\rho V^*,\quad \rho\in\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A),$$где $V$ – изометрическое вложение входного гильбертова пространства $\mathcal{H}_A$ в тензорное произведение $\mathcal{H}_{B}\otimes\mathcal{H}_{E}$ выходного гильбертова пространства $\mathcal{H}_B$ и некоторого гильбертова пространства $\mathcal{H}_E,$ называемого пространством окружения канала (Холево. 2010; Wilde. 2017). Обратно, любое отображение $\Phi$ из $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_A)$ в $\mathfrak{T}(\mathcal{H}_B),$ представимое в виде $(1),$ является квантовым каналом в картине Шрёдингера. Представление $(1)$ называется представлением Стайнспринга канала $\Phi.$

Замена в $(1)$ взятия частичного следа по ${\mathcal H}_E$ на взятие частичного следа по ${\mathcal H}_B,$ приводит к квантовому каналу, действующему из системы $A$ в систему $E,$ называемому комплементарным к исходному (Холево. 2006).

Свойства

В работе (Холево. 2006) было показано, что информационные характеристики комплементарных каналов совпадают. Так, если следовые $l_p$-нормы канала мультипликативны относительно тензорного произведения каналов, то же утверждение справедливо для комплементарных каналов. Также аддитивность минимальной выходной энтропии канала относительно взятия тензорного произведения влечёт выполнение этого свойства для комплементарного канала. Выполнение данных свойств позволяет расширить число каналов, для которых можно вычислить классическую пропускную способность.

История открытия

Определение комплементарного квантового канала было дано в работе (Холево. 2006). В качестве мотивации было указано расширение множества известных квантовых каналов, для которых можно найти классическую пропускную способность. Поскольку ранее было доказано свойство аддитивности для каналов, разрушающих сцепленность (Shor. 2002), получилось, что то же свойство выполнено для класса комплементарных к ним каналов.

Применение

Комплементарные каналы играют важную роль при классификации бозонных квантовых каналов (Холево. 2010). Информационные свойства комплементарных каналов играют значительную роль при доказательстве гипотезы о гауссовских оптимайзерах (Giovannetti. 2015).